Noether-Ladungsoperatoren in der elektroschwachen Theorie

Dies ist eine interessante Frage. Ich denke, die wirkliche Schwierigkeit besteht darin, den Unterschied zwischen Noether-Ladungen und dem zu verstehen, was wir normalerweise die Ladung eines Teilchens nennen. Noetherladungen sind Operatoren, die beim Einwirken auf Zustände die Werte liefern, die wir normalerweise "Ladungen" verschiedener Teilchen nennen. Mit anderen Worten, die Ladungen verschiedener Teilchen sind die Eigenwerte der Noether-Ladung, wenn sie auf einzelne Teilchenzustände einwirken.

Keine anderen Ladungen können auf Einzel- oder Mehrteilchenzustände wirken, es ist nur so, dass die Eigenwerte die Ladungen dieser Zustände sind. Zum Beispiel hat bei der Isospin-Noether-Ladung, die auf einen Zustand mit 3 Neutrinos einwirkt, einen Eigenwert von$3/2$.

Um die Beziehung zwischen Noether-Ladungen und dem, was wir Ladungen von Teilchen nennen, vollständig zu verstehen, halte ich es für wichtig, ein detailliertes Beispiel zu sehen. Wir leiten diese Beziehung für den Isospin weiter unten her. Ein mit einer Eichsymmetrie verbundener Noetherstrom ist die globale Version dieser Symmetrie. Bedenke die$SU(2) _L$invarianter Lagrange:

$$\begin{equation} {\cal L} = i \nu ^\dagger _L \bar{\sigma} ^\mu \partial _\mu \nu _L + i e ^\dagger _L \bar{\sigma} ^\mu \partial _\mu e _L + h.c. \end{equation}$$ Wo $e _L$Und $\nu _L$sind zweikomponentige Weyl-Fermionen.

Der mit der Symmetrie verbundene Erhaltungsstrom ist:

$$\begin{equation} j ^\mu = \alpha ^\alpha \left( \begin{array}{cc}\bar{\nu} _L & \bar{e} _L \end{array} \right) \bar{\sigma} ^\mu t ^a \left( \begin{array}{c} \nu _L \\ e _L \end{array} \right) + h.c. \end{equation}$$ Wo $t ^a$sind die Generatoren von $SU(2)$. Dies ergibt eine erhaltene Ladung (wir bezeichnen sie als $T$da wir es mit Isospin assoziieren wollen), $$\begin{equation} T = \alpha ^a \int d ^3 x \left( \begin{array}{cc}\bar{\nu} _L & \bar{e} _L \end{array} \right) t _a \left( \begin{array}{c} \nu _L \\ e _L \end{array} \right) + h.c. \end{equation}$$ Wo $\sigma ^0$ist die Identität und wir behalten sie bei, da sie die Spinor-Indizes konsistent hält. Wir wollen diesen Operator analog vereinfachen, wie es in der QED für die EM-Ladung gemacht wurde (siehe zB Peskin-Gleichung (3.113)).

Da dies für jeden Wert von gelten sollte$a$, wir haben tatsächlich 3 erhaltene Ladungen,$T _1 , T _2 ,$Und$T _3$. Dies ist ein Analogon zum Drehimpuls, wo wir 3 Größen haben, die erhalten bleiben,$J _x , J _y ,$Und$J _z$. Doch obwohl jeder der$T$sind erhalten, wir können nicht alle 3 gleichzeitig messen. Normalerweise lernen wir nur$T _3$,

$$\begin{equation} T _3 = \frac{1}{2} \int d ^3 x \left( \nu ^\dagger _L \nu _L - e ^\dagger _L e _L \right) + h.c. \end{equation}$$ Diese Ladung hat die Form eines Zahlenoperators für die Neutrinos und eines anderen für die Elektronen, jedoch mit einem relativ negativen Vorzeichen.

Wir können es expliziter schreiben, indem wir zur Vier-Komponenten-Notation übergehen, die es uns ermöglicht, die vertrauten Vier-Komponenten-Ausdrücke für die Felder von zB Peskin S. 54) zu verwenden. Ich sollte anmerken, dass dies genauso einfach mit den weniger bekannten 2-Komponenten-Ausdrücken erfolgen kann. Trotzdem haben wir,

$$\begin{equation} \int \,d^3x \bar{\nu} \gamma _0 P _L \nu = \int \frac{ d ^3 p }{ (2\pi)^4 } \frac{1}{ 2E _p } \left( a _p ^{ s \dagger } a _p ^{ s ' } \bar{u} _p \gamma _0 P _L u _p ^{ s ' } + b _p ^{ s \dagger } b _{ p} ^{ s ' } \bar{v} _p ^s \gamma _0 P _L v _{ p } ^{s' } \right) \end{equation}$$ Wir verwenden jetzt die expliziten Formen der Spinoren, um zu erhalten, $$\begin{align} u ^{s \dagger} _p P _L u _{ p } ^{ s ' } & = \xi ^{ s \dagger } p \cdot \sigma \xi ^{ s ' } \end{align}$$ Dieser Ausdruck vereinfacht sich schön im Fall von masselosen Teilchen (was hier der Fall ist als $SU(2) _L$wird konserviert), $$\begin{align} u ^{s \dagger} _p P _L u _{ p } ^{ s ' } & = E _p (1 - 2 s ) \delta _{ s s' } \end{align}$$ und wir haben auch, $$\begin{align} v ^{s \dagger} _p P _L v _{ p } ^{ s ' } & = E _p (1 - 2 s ) \delta _{ s s' } \end{align}$$ Deshalb, $$\begin{align} \int \,d^3x \nu _L ^\dagger \nu _L & = \int \frac{ \,d^3p }{ (2\pi)^3 } \sum _s \left( a _p ^\dagger a _p + b _p ^\dagger b _p \right) E _p ( 1 - 2 s ) \\ & = \frac{1}{2} \int \frac{ \,d^3p }{ (2\pi)^3 } \left( a _p ^\dagger a _p + b _p ^\dagger b _p \right) \end{align}$$ Sowohl das Teilchen als auch das Antiteilchen des Neutrinos tragen positiv zur Ladung bei $T _3$. Außerdem trägt nur ein Spin für jedes der Teilchen bei. Das liegt daran, dass wir an der masselosen Grenze arbeiten und wir keine rechtshändigen Teilchen (oder linkshändigen Antiteilchen) haben.

Insgesamt haben wir (wir addieren trivialerweise das hermitische Konjugat),

$$\begin{equation} T _3 = \frac{1}{2} \int \,d^3x \left( ( a _p ^\dagger a _p + b _p ^\dagger b _p ) - ( c _p ^\dagger c _p + d _p ^\dagger c _p ) \right) \end{equation}$$ Wo $c ^\dagger$Und $d ^\dagger$sind die Erzeugungsoperatoren des linken Elektrons. Daher zählt der positive Term die Anzahl der Neutrinos und der negative Term die Anzahl der Elektronen. Jeweils erhöht oder verringert sich die Ladung um $1/2$.