Wo wohnen L+L+L_+ und L−L−L_-, wenn nicht in so(3)so(3)\mathfrak{so(3)}?

Question

Wo wohnen L+L+L_+ und L−L−L_-, wenn nicht in so(3)so(3)\mathfrak{so(3)}?

Physik
Lügen-Algebra
Gruppentheorie
Drehimpuls
Gruppendarstellungen

Benutzer35952

Diese Frage ist die Fortsetzung des vorherigen Beitrags . Die Lügenalgebra von $\mathfrak{so(3)}$ ist reelle Lie-Algebra und daher $L_{\pm} = L_1 \pm i L_2$ gehöre nicht dazu $\mathfrak{so(3)}$ .

Beim Aufbau einer Darstellung z $\mathfrak{so(3)}$ verwendet man diese Operatoren und nimmt sie als Endomorphismen (Operatoren) an, die auf einem Vektorraum definiert sind $V$ . Lassen $\left|lm \right> \in V$ ,Dann

L_{3} | l M ⟩ = M | l M ⟩ L_{\pm} | l M ⟩ = C_{\pm} | l (M \pm 1) ⟩

$L_3\left|lm \right> = m \left|lm \right> \;\;\;\;\; L_{\pm}\left|lm \right> = C_{\pm}\left|l(m\pm1) \right>$

Nun, wie rechtfertigen wir diese beiden Dinge? Wenn $L_{\pm} \notin \mathfrak{so(3)}$ , wie ist dann eine solche Konstruktion der Repräsentation möglich ?

Ich glaube, ähnliches ist der Fall mit $\mathfrak{su(n)}$ Algebren, wobei die Gruppe halb einfach ist und die Algebra über einem echten LVS definiert ist.

Nikolaj-K

Ich könnte hier etwas falsch verstehen, also lassen Sie mich einen Punkt ansprechen: Ohne zu beurteilen, ob die Operatoren in der Algebra liegen oder nicht, warum stellt sich Ihre Frage trotzdem? In meinem Ohr klingt es ähnlich wie "Ich möchte die Eigenschaften aufeinander folgender Ableitungen untersuchen und die Leute verwenden dafür abstrakte Algebra. Wie ist das gerechtfertigt?" Warum nicht? Wenn Sie studieren, wie

a \mapsto e^{i ϕ} a

$a\mapsto\mathrm{e}^{i\phi}a$ beeinflusst Elemente von

C

$\mathbb C$ , gibt es einen Grund, warum Sie Ihr Studium einschränken würden, indem Sie verlangen, keine komplexe Konjugation zu verwenden?

C

$\mathbb C$ ?

Valter Moretti

Entschuldigung, ich verstehe nicht warum

L_{\pm} | l m ⟩ = C_{\pm} | l (m \pm 1) ⟩

$L_\pm |l \:m \rangle = C_\pm |l\: (m\pm 1)\rangle$ sollte das verlangen

L_{\pm}

$L_\pm$ gehört zu einer Darstellung der (reellen) Lie-Algebra

s o (3)

$so(3)$ oder

s u (2)

$su(2)$ .

Benutzer35952

@V.Moretti: Ich auch nicht! Aber ich bin nicht in der Lage, mich davon zu überzeugen, dass, wenn sie nicht dazu gehören, wie kann ich sie dann beim Aufbau der Darstellung verwenden?

Benutzer35952

@NiftyKitty95: Danke für diesen Punkt, obwohl deine Analogie mich noch nicht erreicht hat. Werde das nochmal überdenken.

Benutzer35952

Ok, bedeutet das also, dass, wenn ich eine Darstellung dieser Algebra unter Verwendung ihrer Operation auf einem linearen Vektorraum (LVS) konstruiere, nur wenige legitime Operatoren auf diesem LVS zur Algebra gehören und nicht alle über den LVS definierten Operatoren?

Nikolaj-K

@user35952: Meine Punkte sind zB, wenn du die Multiplikation der Zahl studierst

7

$7$ nach der Nummer

5

$5$ In

N

$\mathbb N$ , gibt es keinen Grund, dies als zu schreiben

7 \mapsto (1 - 2 i) 7 \bar{(1 - 2 i)}

$7\mapsto(1-2i)\,7\,\overline{(1-2i)}$ , wenn Sie denken, dass das nützlich ist.

Valter Moretti

Natürlich! Üblicherweise wird die Darstellung über einen komplexen Vektorraum konstruiert

H

$H$ , also die Algebra der Operatoren über diesem Raum

L (H)

$L(H)$ hat eine natürliche komplexe Struktur. Trotzdem ist die Darstellung einer (reellen) Lie-Algebra nur in einem reellen Unterraum definiert

L (H)

$L(H)$ .

Benutzer35952

@ NiftyKitty95 : Ja, jetzt verstehe ich, was du meinst, und ich denke, Moretti hat es klar gemacht !!

Benutzer35952

@V.Moretti: Außerdem ist der invariante Unterraum von

V

$V$ , der Raum , über den die Casimir - Operatoren der Lie - Algebra definiert sind ?

Valter Moretti

Wenn

V

$V$ irreduzibel und invariant ist , ist er tatsächlich ein Eigenraum der Casimir-Operatoren.

Antworten (1)

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Ich könnte hier etwas falsch verstehen, also lassen Sie mich einen Punkt ansprechen: Ohne zu beurteilen, ob die Operatoren in der Algebra liegen oder nicht, warum stellt sich Ihre Frage trotzdem? In meinem Ohr klingt es ähnlich wie "Ich möchte die Eigenschaften aufeinander folgender Ableitungen untersuchen und die Leute verwenden dafür abstrakte Algebra. Wie ist das gerechtfertigt?" Warum nicht? Wenn Sie studieren, wie $a\mapsto\mathrm{e}^{i\phi}a$ beeinflusst Elemente von $\mathbb C$ , gibt es einen Grund, warum Sie Ihr Studium einschränken würden, indem Sie verlangen, keine komplexe Konjugation zu verwenden? $\mathbb C$ ?
Entschuldigung, ich verstehe nicht warum $L_\pm |l \:m \rangle = C_\pm |l\: (m\pm 1)\rangle$ sollte das verlangen $L_\pm$ gehört zu einer Darstellung der (reellen) Lie-Algebra $so(3)$ oder $su(2)$ .
@V.Moretti: Ich auch nicht! Aber ich bin nicht in der Lage, mich davon zu überzeugen, dass, wenn sie nicht dazu gehören, wie kann ich sie dann beim Aufbau der Darstellung verwenden?
@NiftyKitty95: Danke für diesen Punkt, obwohl deine Analogie mich noch nicht erreicht hat. Werde das nochmal überdenken.
Ok, bedeutet das also, dass, wenn ich eine Darstellung dieser Algebra unter Verwendung ihrer Operation auf einem linearen Vektorraum (LVS) konstruiere, nur wenige legitime Operatoren auf diesem LVS zur Algebra gehören und nicht alle über den LVS definierten Operatoren?
@user35952: Meine Punkte sind zB, wenn du die Multiplikation der Zahl studierst $7$ nach der Nummer $5$ In $\mathbb N$ , gibt es keinen Grund, dies als zu schreiben $7\mapsto(1-2i)\,7\,\overline{(1-2i)}$ , wenn Sie denken, dass das nützlich ist.
Natürlich! Üblicherweise wird die Darstellung über einen komplexen Vektorraum konstruiert $H$ , also die Algebra der Operatoren über diesem Raum $L(H)$ hat eine natürliche komplexe Struktur. Trotzdem ist die Darstellung einer (reellen) Lie-Algebra nur in einem reellen Unterraum definiert $L(H)$ .
@ NiftyKitty95 : Ja, jetzt verstehe ich, was du meinst, und ich denke, Moretti hat es klar gemacht !!
@V.Moretti: Außerdem ist der invariante Unterraum von $V$ , der Raum , über den die Casimir - Operatoren der Lie - Algebra definiert sind ?
Wenn $V$ irreduzibel und invariant ist , ist er tatsächlich ein Eigenraum der Casimir-Operatoren.

ZeroTheHero · Answer 1

Sie liegen nicht drin $\mathfrak{so}(3)$ aber sie liegen in seiner Komplexität, die wäre $A_1$ in der üblichen mathematischen Klassifikation. Ein Großteil der Lügendarstellungstheorie ist so aufgebaut: Sie arbeiten auf der Ebene der Komplexierung und kehren dann zur realen Form zurück. Für kompakte Gruppen ist es keine große Sache; Bei nicht kompakten Gruppen ist besondere Sorgfalt erforderlich.

Also, während $L_{\pm}$ machen keinen Sinn als Elemente von $\mathfrak{so}(3)$ , sie machen in der Komplexierung Sinn. Sie können darauf zurückgreifen $\mathfrak{so}(3)$ durch die Nutzung $L_1=\frac{1}{2}(L_++L_-)$ Und $L_2=\frac{1}{2i}(L_+-L_-)$ . (Achtung: die Basis wo $L_0$ Die Diagonale ist eine komplexe Kombination der reellen Basisvektoren.)

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