Äquivalente Rotation unter Verwendung der Baker-Campbell-Hausdorff-Beziehung

1. Die Baker-Campbell-Hausdorff (BCH)-Formel für die 3-dimensionalen Drehungen lässt sich tatsächlich zusammenfassen. Hier geben wir nur das Ergebnis in der Notation von Ref an. 1.

   Dreidimensionale Rotationen werden von der Lie-Gruppe beschrieben $SO(3)$. Die zugehörige Lie-Algebra $so(3)$Ist

   $$\begin{align} [L_j, L_k] ~=~& i\sum_{\ell=1}^3\epsilon_{jk\ell} L_{\ell}, \cr j,k,\ell~\in~& \{1,2,3\},\cr \epsilon_{123}~=~&1, \cr i^2~=~&-1.\end{align}\tag{1}$$ In der nebenstehenden Darstellung die drei Lie-Algebra-Generatoren$iL_{\ell}\in{\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R})$,$\ell\in\{1,2,3\}$, Sind$3\times 3$reelle antisymmetrische Matrizen, $$\begin{align}i(L_j)_{k\ell} ~=~& \epsilon_{jk\ell} ,\cr j,k,\ell~\in~& \{1,2,3\}.\end{align} \tag{2}$$

2. Eine Rotationsmatrix

   $$R(\vec{\alpha})~\in~ SO(3)~ \subseteq ~{\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R}) \tag{3}$$ kann durch eine Rotationsachse und einen Rotationswinkel angegeben werden . Hier verwenden wir einen 3-Vektor $$\vec{\alpha}~=~\alpha \vec{n}_{\alpha}~\in~ \mathbb{R}^3, \tag{4}$$ Wo$\vec{n}_{\alpha}\in\mathbb{R}^3$ist ein Einheitsvektor parallel zur Rotationsachse,$\vec{n}_{\alpha} \cdot \vec{n}_{\alpha}=1$; Und$\alpha\in \mathbb{R}$(ohne Pfeil oben) ist der Drehwinkel.

   Die Formel für die Rotationsmatrix in Bezug auf$\vec{\alpha}$liest

   $$\begin{align} R(\vec{\alpha}) ~=~&e^{i \vec{\alpha}\cdot \vec{L}}\cr ~=~& {\bf 1}_{3\times 3} - (1-\cos\alpha) (\vec{n}_{\alpha}\cdot \vec{L})^2 + i\sin\alpha ~\vec{n}_{\alpha}\cdot \vec{L}.\end{align} \tag{5}$$

3. Die Zusammensetzung zweier Drehungen ist wieder eine Drehung

   $$R(\vec{\gamma})~=~R(\vec{\alpha})R(\vec{\beta}).\tag{6}$$ Wenn wir die Kurzschreibweise einführen $$c_{\alpha} ~:=~\cos\frac{\alpha}{2} ~\in~ \mathbb{R},\tag{7}$$ $$\vec{s}_{\alpha}~:=~\vec{n}_{\alpha} \sin\frac{\alpha}{2} ~\in~ \mathbb{R}^3,\tag{8}$$ $$\vec{t}_{\alpha}~:=~\vec{n}_{\alpha} \tan\frac{\alpha}{2} ~\in~ \mathbb{R}^3,\tag{9}$$ die "Additionsformel" für das entsprechende$3$-Vektoren können sauber geschrieben werden als $$\vec{t}_{\gamma} ~=~\frac{\vec{t}_{\alpha}+\vec{t}_{\beta}-\vec{t}_{\alpha}\times\vec{t}_{\beta} }{1-\vec{t}_{\alpha}\cdot \vec{t}_{\beta}}.\tag{10}$$

4. Die Ableitung von Gl. (10) vereinfacht, wenn man davon Gebrauch macht$SU(2)\cong U(1,\mathbb{H})$ist die doppelte Abdeckung von$SO(3)$. Ein$SU(2)$-Matrix

   $$X(\vec{\alpha})~\in~ SU(2)~ \subseteq ~{\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C})\tag{11}$$ kann in Bezug auf die Pauli-Matrizen geschrieben werden als $$\begin{align} X(\vec{\alpha}) ~=~&e^{i \vec{\alpha}\cdot \vec{\sigma}/2}\cr ~=~& c_{\alpha}{\bf 1}_{2\times 2} + i\vec{s}_{\alpha}\cdot \vec{\sigma}.\end{align} \tag{12}$$ Die Zusammensetzung von zwei$SU(2)$-Matrix ist durch dieselbe BCH-Formel gegeben $$X(\vec{\gamma})~=~X(\vec{\alpha})X(\vec{\beta}).\tag{13}$$

Verweise:

1. G 't Hooft, Introduction to Lie Groups in Physics , Vorlesungsunterlagen, Kapitel 3. Die pdf-Datei ist hier verfügbar .

2. S. Weigert, J. Phys. A30 (1997) 8739, arXiv:quant-ph/9710024 .

3. K. Engø, On the BCH-formula in so(3) , Bit Num. Mathematik. 41 (2001) 629 . (Huttipp: WetSavannaAnimal alias Rod Vance .)

4. Wikipedia .

Als$\mathrm{SO}(3)$ist eine verbundene Gruppe,$\exp(\mathsf{L}(\mathrm{SO}(3))) = \mathrm{SO}(3)$und daher sollte dies – theoretisch – funktionieren. Arbeiten wir in der fundamentalen Darstellung von$\mathrm{SO}(3)$, also orthogonale 3x3-Matrizen.

Angenommen, Sie haben eine Drehung$B$wirkende erste und eine zweite Drehung$A$, die resultierende Rotation ist dann gegeben durch$AB \equiv C \in \mathrm{SO}(3)$. Darüber hinaus können wir ausdrücken$A$,$B$Und$C$von$\exp(a)$,$\exp(b)$Und$\exp(c)$für$a,b,c \in \mathsf{L}(\mathrm{SO}(3))$. Wir haben dann ¹

$$\exp(a) \exp(b) = AB = C = \exp(c) = \exp\left(a + b + \frac{1}{2}[a,b] + \frac{1}{12} [ a, [a,b]] - \frac{1}{12}[b,[a,b]]+ \ldots\right)\quad.$$

Nun, das Problem bei der Überprüfung durch ein Beispiel ist, dass diese Kommutatoren ziemlich hässlich sind. Ich mache zwei Beispiele:

Erstes Beispiel: Zwei Drehungen um die$x$Achse

Nehmen$A$herum zu drehen$(1,0,0)$von$\theta$Und$B$um die gleiche Achse zu rotieren$\phi$. Wir haben dann

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

und ähnlich für$B$. Der zugehörige$a$ist dann einfach:

$$a = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\theta \\ 0 & \theta & 0 \end{pmatrix}\quad$$

und wieder ähnlich für$b$mit$\theta \to \phi$. Das kannst du ganz einfach überprüfen$\exp(a)$gibt dir wirklich$A$. Jetzt seit$a$Und$b$pendeln, wir haben$[a,b] = 0$und daher$c = a + b$- welches ist

$$c = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\theta -\phi \\ 0 & \theta + \phi & 0 \end{pmatrix}\quad.$$

Das leuchtet sehr wahrscheinlich besser als$AB$dass zwei Drehungen um dieselbe Achse einer Drehung um die Summe der Winkel entsprechen. Das kannst du nochmal überprüfen$\exp(c)$gibt Ihnen$C$.

Zweites Beispiel: Eine Drehung um$y$, eine zweite etwa$x$.

Dies ist schwieriger, da wir lästige Kommutatoren berechnen müssen. Das hier präsentierte Ergebnis ist daher nur ungefähr, nicht exakt.

Nehmen

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} \cos(\phi) & 0 & \sin(\phi) \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin(\phi) & 0 & \cos(\phi) \end{pmatrix} \quad .$$

Das kannst du ausrechnen

$$AB = C = \begin{pmatrix} \cos(\phi) & 0 & \sin(\phi) \\ \sin(\theta) \sin(\phi) & \cos(\theta) & -\sin(\theta) \cos(\phi) \\ \sin(\phi)\cos(\theta) & \sin(\theta) & \cos(\phi)\cos(\theta) \end{pmatrix} \quad .$$

Ähnlich wie oben haben wir

$$a = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\theta \\ 0 & \theta & 0 \end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \phi \\ 0 & 0 & 0 \\ -\phi & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad.$$

Jetzt ist der schwierige Teil zu berechnen

$$c = a + b + \frac{1}{2} [ a,b] + \frac{1}{12} [ a, [a,b]] - \frac{1}{12} [b,[a,b]] + \ldots$$

mit einer solchen Präzision, dass$\exp(c)$liefert halbwegs vernünftige Ergebnisse. Daran bin ich meistens gescheitert, aber hier ist, was ich bekommen habe:

$$\frac{1}{2} [ a,b] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -\theta\phi & 0 \\ \theta\phi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\quad,$$

was dem Element der Lie-Algebra-Basis sehr ähnlich sieht, das einer Drehung um die entspricht$z$Achse, passt aber leider überhaupt nicht hinein (auch etwas Lineares drin$a$oder$b$wäre schön gewesen…). Ich habe dann weiter gerechnet$[a,[a,b]]$Und$[b,[a,b]]$und angekommen

$$c \approx \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2}\theta\phi & \phi - \frac{1}{12} \theta^2 \phi \\ \frac{1}{2} \theta \phi & 0 & -\theta + \frac{1}{12} \theta\phi^2 \\ -\phi + \frac{1}{12} \theta^2 \phi & \theta - \frac{1}{12} \theta \phi^2 & 0 \end{pmatrix} \quad .$$

Das Schöne hier ist, dass dies immer noch eine antisymmetrische Matrix ist und daher in (sein kann).$\mathsf{L}(\mathrm{SO}(3))$. Um dies nun mit irgendetwas zu vergleichen, müssen wir approximieren$C$. Erinnere dich an den Ausdruck von oben. Als erste Annäherung werde ich festlegen$\cos(x) = 1 - \frac{1}{2}x^2$,$\sin(x) = x - \frac{1}{6} x^3$. bekomme ich dann

$$C \approx \begin{pmatrix} 1 - \frac{\phi^2}{2} & 0 & \phi - \frac{\phi^3}{6} \\ \left(\theta - \frac{\theta^3}{6}\right) \left(\phi - \frac{\phi^3}{6}\right) & 1 - \frac{\theta^2}{2} & -\left(1-\frac{\phi^2}{2}\right)\left(\theta - \frac{\theta^3}{6}\right) \\ -\left(1-\frac{\theta^2}{2}\right)\left(\phi-\frac{\phi^3}{6}\right) & \theta - \frac{\theta^3}{6} & \left(1 - \frac{\theta^2}{2}\right)\left(\phi - \frac{\phi^3}{6}\right) \end{pmatrix} \quad ,$$

Ich erweitere die Klammern und werfe alles weg, was der vierten Ordnung entspricht

$$C \approx \begin{pmatrix} 1 - \frac{\phi^2}{2} & 0 & \phi - \frac{\phi^3}{6} \\ \theta\phi & 1 - \frac{\theta^2}{2} & -\theta + \frac{\phi^2\theta}{2} \\ -\phi + \frac{\theta^2\phi}{2} & \theta - \frac{\theta^3}{6} & \phi - \frac{\theta^2\phi}{2} \end{pmatrix}\quad.$$

Dieser Ausdruck sollte ungefähr gleich sein

$$1_3 + c + \frac{1}{2} c^2 + \frac{1}{6} c^3 \quad,$$

das ist die Erweiterung von$\exp(c)$. Nachdem wir wieder alles von Ordnung vier weggeworfen haben, kommen wir zu

$$\exp(c) \approx \begin{pmatrix} 1-\frac{\phi^2}{2} & 0 & \phi - \frac{\phi^3}{6} \\ \theta\phi & 1 - \frac{\theta^2}{2} & -\theta+\frac{\theta^3}{6} +\frac{\theta\phi^2}{2}\\ -\phi +\frac{\theta^2 \phi}{2} & \theta - \frac{\theta^3}{6} & 1 - \frac{\theta^2}{2} - \frac{\phi^2}{2} \end{pmatrix} \quad .$$

Die verbleibenden 'falschen' Terme heben sich hier höchstwahrscheinlich mit höheren Ordnungen von auf$c$, aber ich muss zugeben, dass ich dafür etwas zu faul bin.

Abschluss

Das Hauptproblem bei der BCH-Formel ist wirklich, dass im Allgemeinen$[a,b] \neq 0$und Sie erhalten daher meistens nicht einmal einen genauen Ausdruck für$c$– woraus man höchstwahrscheinlich Winkel und Rotationsachse ableiten könnte, ohne diese lästige Exponentialfunktion auszuwerten. Ohne einen genauen Ausdruck für$c$, jedoch ist alles verloren, da nicht exakte Ausdrücke lediglich auf der Tatsache beruhen, dass für infinitesimale Rotationswinkel alle Rotationen pendeln.

Ich würde jedoch gerne andere Meinungen hören, insbesondere in Bezug auf den "theoretischen" Teil, mit dem man etwas anfangen könnte$c$, wenn es genau bekannt wäre.