Halbzahliger Spin und unendlich kleine Drehungen

Auf P. 692 von 'Quantum Mechanics' von Cohen-Tannoudji sagt er, dass:

Jede endliche Rotation kann in unendlich viele infinitesimale Rotationen zerlegt werden, da der Rotationswinkel kontinuierlich variieren kann und da gilt:

$\begin{equation} \mathcal{R}_{\textbf{u}}(\alpha+d\alpha)=\mathcal{R}_{\textbf{u}}(\alpha)\mathcal{R}_{\textbf{u}}(d\alpha)=\mathcal{R}_{\textbf{u}}(d\alpha)\mathcal{R}_{\textbf{u}}(\alpha), \end{equation}$

Wo$\mathcal{R}_{\textbf{u}}(d\alpha)$ist eine infinitesimale Drehung um die Achse$\textbf{u}$. Somit kann die Untersuchung der Rotationsgruppe auf eine Untersuchung von infinitesimalen Rotationen reduziert werden.

Hier,$\mathcal{R}_{\textbf{u}}(\alpha)$stellt eine geometrische Drehung dar, dh sie wirkt auf den Koordinatenraum$\Re^{3}$, und ihm ist ein Rotationsoperator zugeordnet$R(\alpha)$die auf den Zustandsraum wirkt.

Insbesondere verwendet er diese Formulierung mit infinitesimalen Rotationen, um dann zu zeigen, dass der Rotationsoperator für eine infinitesimale Rotation zustande kommt$\textbf{u}$Ist:

Wo$\textbf{J}$ist der Gesamtdrehimpulsoperator. Daraus kann man zeigen, dass der Rotationsoperator für einen endlichen Winkel ist:

Ein bekanntes Beispiel für einen solchen Rotationsoperator ist when$\textbf{J}=\textbf{S}$, dh der Drehimpuls besteht nur aus Spin, und wann$s$darf nur halbzahlige Werte annehmen, wie z$\frac{1}{2}$oder$\frac{3}{2}$. In diesem Fall kann man das zeigen$R_{\textbf{u}}(2\pi)=-\mathbb{1}$, statt$+\mathbb{1}$, wie man sie bei Teilchen mit ganzzahligem Spin erhält.

Cohen-Tannoudji erklärt dies teilweise dadurch, dass wir unseren endlichen Winkelrotationsoperator aus einer Zusammensetzung von infinitesimalen Rotationsoperatoren konstruiert haben, mit der Fußnote:

Wenn wir uns jedoch auf unendlich kleine Rotationen beschränken, verlieren wir eine „globale“ Eigenschaft der endlichen Rotationsgruppe aus den Augen: die Tatsache, dass eine Rotation um einen Winkel von$2\pi$ist die Identitätstransformation. Die aus infinitesimalen Operatoren konstruierten Rotationsoperatoren haben diese globale Eigenschaft nicht immer. In bestimmten Fällen (und hier bezieht er sich auf Spin-1/2-Teilchen) ist der mit a verbundene Operator$2\pi$Rotation ist nicht der Einheitsoperator, sondern ihr Gegenteil.

Aus der von ihm angegebenen Konstruktion ist mir nicht sofort klar, warum die möglichen Werte von$j$und die Tatsache, dass wir infinitesimale Operatoren verwendet haben, um einen endlichen zu konstruieren, sollte damit zusammenhängen. Wie kommt diese Beziehung zustande?