Frage zur Tötungsform in Georgi

Ich versuche, die Tötungsform zu verstehen, die auf Seite 49 in dem Buch von Howard Georgi beschrieben wird. Er beginnt damit, dass man das innere Produkt zwischen zwei Generatoren definiert T A Und T B in der adjungierten Darstellung wie folgt:

T R ( T A T B )
und anschließend sagt er, dass dies eine reelle symmetrische Matrix ist. Ich bin mir nicht sicher, warum dies der Fall ist, weil die Spur nur eine Zahl wäre? Zuerst dachte ich, das könnte nur ein kleiner Fehler sein.

Allerdings leitet er daraus eine lineare Transformation an den Generatoren ab X A (in willkürlicher Darstellung):

X A → X A ' = L A B X B
ergibt folgende Umformung:
T R ( T A T B ) → T R ( T A ' T B ' ) = L A C L B D T R ( T C T D )
Und dann sagt er, wir können die Spur diagonalisieren, indem wir eine geeignete auswählen L so dass wir schreiben können (nachdem wir die Primzahlen weggelassen haben):
T R ( T A T B ) = k A δ A B
Ich verstehe wirklich nicht, woher diese Gleichung kommt. Ich habe noch nie davon gehört, die Spur zu diagonalisieren (weil dies eine Zahl ist, keine Matrix) und ich konnte bei Google nichts Nützliches finden. Jede Hilfe bei meinem Problem wäre sehr willkommen.

Mit freundlichen Grüßen,

Kommentar zur Frage (v1): Das sagt Georgi M = ( M A B ) 1 ≤ A , B ≤ N ist eine reelle symmetrische Matrix mit Matrixelementen M A B := T R ( T A T B ) ∈ R .
Ah okay danke! Ich kann nicht sehen, wie Sie das aus dem herausbekommen, was er schreibt, aber das macht Sinn.

Antworten (1)

Wir behandeln die Lie-Algebra der relevanten Lie-Gruppe hier einfach als reinen Vektorraum und führen lineare Transformationen auf diesem linearen Raum durch. Seit Tr ⁡ ( X Y ) = Tr ⁡ ( Y X ) im Allgemeinen gilt, ist die Matrix der Spur symmetrisch. Der L A , B sind wie verallgemeinerte Rotationen und behalten, solange sie nichtsinguläre Matrizen haben, alle Informationen der Lie-Algebra.

Einige von Georgis Kommentaren sind meines Erachtens nicht allgemeingültig. Die Form, die er definiert, ist die Tötungsform in der adjungierten Darstellung und nicht immer ein inneres Produkt. Er nimmt an, dass die betreffende Gruppe (i) ein endliches Zentrum hat und (ii) kompakt ist, denn wir haben den folgenden bemerkenswerten Satz:

Da eine Lie-Gruppe ein endliches Zentrum hat, ist die Killing-Form der Lie-Algebra einer Gruppe genau dann negativ definit, wenn die Gruppe kompakt ist.

Eine gute Referenz dazu ist: S. Helgason „Differentialgeometrie Lie-Gruppen und symmetrische Räume“ Kap. II, Abschnitt 6, Stütze. 6.6.

Ich liebe dieses Theorem - es ist wirklich ziemlich spesh, wenn man darüber nachdenkt - uns etwas über die globalen Eigenschaften der Gruppe aus Informationen zu sagen , die lokal (in der Lie-Algebra) codiert sind.

Die Killing-Form ist also das Negativ eines inneren Produkts für kompakte Gruppen mit endlichen Zentren. Sobald wir ein inneres Produkt haben, können wir natürlich Orthogonalität, Orthonormalität und unitäre Transformationen der Lie-Algebra definieren. Obwohl ich das noch nie zuvor gesehen habe, wird die Diagonalisierung, von der Sie sprechen, auf diese Weise durchgeführt werden können. Sobald Sie ein inneres Produkt haben, kann das Gramm-Schmidt-Verfahren durchgearbeitet werden, und so geht es Ihnen L A , B werden abgeleitet.

Für die Einheitsgruppen (mit denen sich Georgi, wie ich vermute, beschäftigt – wir sprechen hier von Prof. SU(5) / SO(10)!) wird das Negativ der Tötungsform sogar noch eher als inneres Produkt gesehen:

⟨ X , Y ⟩ = Tr ⁡ ( X † Y ) = − Tr ⁡ ( X Y )

denn natürlich sind die Mitglieder der Lie-Algebra schief-hermitesch.

Danke für Ihre Antwort. Ich habe noch eine Frage. Wissen Sie, warum wir das Skalarprodukt (also die Killing-Form) für Erzeuger nur in der adjungierten Darstellung definieren können? Mir scheint, dass die Spur der Erzeuger die Bedingungen des Skalarprodukts in jeder beliebigen Darstellung der Erzeuger erfüllt.
@Hunter Gute Frage. Lassen Sie mich darüber nachdenken. Ich denke, Sie können ein inneres Produkt so definieren, wie Sie es in jeder Darstellung sagen (z. B. für einheitliche Gruppen). Es ist einfach so, dass Eigenschaften dieser bilinearen Form keine besondere Bedeutung haben, es sei denn, es ist in der adjungierten Darstellung, wie der Satz in Helgason. Eine andere ist diese: Die Gruppe ist halbeinfach genau dann, wenn die Killing-Form nicht entartet ist. Ich bin mir ziemlich sicher, dass dies der Grund ist, warum man in anderen Wiederholungen nicht über das Töten von Formen spricht, aber es kann immer noch einen Grund geben, dort ein inneres Produkt zu definieren (um beispielsweise eine Metrik zu definieren).
@Hunter Natürlich - dumm von mir (ich war entwaffnet von der Klarheit deines Denkschwertes! - autsch!) - es gibt den anderen Grund, dass man auch die Lie-Algebra-Darstellung braucht, um eine treue zu sein, um die größtmögliche Information über die zu vermitteln zugrundeliegende Lie-Gruppe. Mein Vorurteil beim Denken ist, die Algebra zu verwenden, um die Lie-Gruppe zu studieren – also habe ich nur an die Killing-Form im Bild des adjungierten Repräsentanten gedacht – aber natürlich hat man im Allgemeinen allgemeinere Gründe, andere, nicht treue Repräsentanten zu verwenden. Außerdem ist nicht einmal der adjungierte Repräsentant der Gruppe treu, wenn diese ein nicht-diskretes Zentrum hat
Danke für Ihre Antwort. Über deine Antworten muss ich noch nachdenken. Ich denke, Ihr Verständnis ist viel besser als meines, daher bin ich mir nicht sicher, ob ich Sie vollständig verstehe. So oder so, es ist immer gut, dazu gedrängt zu werden, ein so wichtiges Thema besser zu verstehen ;). Wenn ich weitere Fragen habe, werde ich sie sicher hier im Forum stellen.
@Hunter Es tut mir leid, dass du mich nicht ganz verstehst, aber ich glaube, ich weiß, was du meinst – zögere nicht, hier Fragen zu stellen, nachdem du über dieses Thema nachgedacht hast (du musst die Frage in einem Kommentar hier posten, um kontaktieren Sie mich oder senden Sie mir eine E-Mail an die Adresse auf meiner Benutzerseite und wir können chatten). Eine sehr einfache Anwendung des Killing-Formulars im Adjoint-Rep von S U ( 2 ) finden Sie hier - der ursprüngliche Fragesteller schien das Interesse an seiner Frage zu verlieren, aber vielleicht können Sie etwas daraus entnehmen!
Ich habe eine Frage zu einer Isomorphismusbeziehung in der Gruppentheorie zu Math SE gestellt, und leider reagieren die Leute dort nicht auf meine Frage. Wenn Sie etwas Zeit haben, wäre ich sehr dankbar, wenn Sie es sich ansehen und sehen könnten, ob Sie meinem Beweis zustimmen / nicht zustimmen.
Lieber @Hunter Entschuldigung für meine fehlende Antwort. Ihr Beweis sieht im Grunde genommen solide aus, obwohl ich im Moment keine Zeit habe, es mit einem feinen Zahn durchzugehen - offensichtlich argumentieren Sie in fundamentalen und soliden Begriffen. Die Antwort von Manolito Pérez ist die, die mir gefällt – sie ist am prägnantesten und wirklich alles, worüber Sie sich Sorgen machen müssen. Generell muss man aber bei Quotienten und Produkten aufpassen: In diesem Fall geht man von einem direkten Produkt aus G × H also es funktioniert alles, aber im Allgemeinen G = K / H bedeutet nicht K = G × H sondern eher die...
... das semidirekte Produkt relevant ist (der Hauptunterschied besteht darin, dass das semidirekte Produkt zwischen zwei Gruppen nicht eindeutig ist.
Kein Problem. Haben Sie Ressourcen/Bücher, in denen diese Dinge explizit ausführlich diskutiert werden? Die meisten Bücher (ich weiß) diskutieren kurz das direkte Produkt und die Quotientengruppe, aber sie gehen nie sehr ins Detail (und sie diskutieren nicht die Beziehung zwischen ihnen). Das erscheint mir seltsam, weil es in der theoretischen Physik so wichtig ist. Vielen Dank auch für Ihren Kommentar zu dieser Tatsache G = K / H bedeutet nicht K = G × H . Ich möchte wirklich mehr darüber erfahren. Vielleicht sollte ich es auf Physik SE stellen, aber ich glaube nicht, dass eine solche Frage erlaubt sein wird.
Frage zur Tötungsform in Georgi
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