Explizite Konstruktion der (12,12)(12,12)(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) Darstellung der Lorentzgruppe

Für die Vektordarstellung der Lorentz-Gruppe (eigentlich die Algebra), die$J^1$Generator ist

$$J_1 = i \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \tag1$$

während ich was bekomme versuche es aus der anwendung herauszuarbeiten$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$Vertretung ist

$$J_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}\tag2$$

Offensichtlich ist in meiner Berechnung ein Fehler, die Frage ist, wo und wie ich ihn korrigieren kann. So bin ich zu obiger Rechnung gekommen.

Um die irreduziblen Darstellungen der homogenen Lorentz-Gruppe zu konstruieren, beginnend mit der$J^{\mu\nu}$Generatoren, definiert man$\mathbf{J}=\{J^1,J^2,J^3\}$als$J^1 = J^{23}$und so weiter durch zyklische Permutationen und$\mathbf{K} = \{K^1, K^2, K^3\}$als$K^i = J^{0i}$. Dann durch Definieren

$$\mathbf{A}=\frac{1}{2}(\mathbf{J}+i\mathbf{K}), \mathbf{B}=\frac{1}{2}(\mathbf{J}-i\mathbf{K})\tag3$$

man bekommt zwei unabhängige$SU(2)$Algebren, da

$$[A_i,A_j]=i\epsilon_{ijk}A_k,\tag4$$

$$[B_i, B_j] = i\epsilon_{ijk} B_k,\tag5$$

$$[A_i, B_j]=0.\tag6$$

Daher$\mathbf{A}$kann durch die üblichen Drehimpulsmatrizen dargestellt werden$\mathbf{J}^{(A)}_{a,a^\prime}$, Wo$A$ist der Maximalwert (ganze oder halbe ganze Zahl) und$a,a^\prime = -A,...,+A$. Ähnlich für$\mathbf{B}$. Kombinieren Sie die beiden für die Lorentz-Gruppe in Bezug auf die Indizes, die wir haben

$$(\mathbf{A})_{ab,a^\prime b^\prime} = \mathbf{J}^{(A)}_{aa^\prime} \delta_{bb^\prime}\tag7$$

$$(\mathbf{B})_{ab,a^\prime b^\prime} = \delta_{aa^\prime} \mathbf{J}^{(B)}_{bb^\prime}\tag8$$

Jetzt beginnt hier meine Mühe. So wie ich es verstehe, sind diese beiden in Matrixform

$$\mathbf{A} = \mathbf{J}^{(A)} \otimes \mathbf{1}_{2b+1}\tag9$$

Und

$$\mathbf{B} = \mathbf{1}_{2a+1} \otimes \mathbf{J}^{(B)}.\tag{10}$$

$\mathbf{1}$steht natürlich für die Einheitsmatrix der entsprechenden Dimensionen und$\otimes$ist das direkte Produkt der Matrix.

Unter Verwendung dieser Gleichungen für$A=\frac{1}{2}=B$, Die$J$s sind$\frac{1}{2}\sigma^i$, die Hälfte der Pauli-Matrizen und was ich bekomme, ist

$$A_1 =\frac{1}{2}\sigma_1 \otimes \mathbf{1}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \tag{11}$$

$$= \begin{pmatrix} 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 0 \end{pmatrix}\tag{12}$$

und ähnlich

$$B_1 = \mathbf{1}_2 \otimes \frac{1}{2}\sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}\tag{13}$$

Aus den Definitionen von$\mathbf{A}$Und$\mathbf{B}$, Gl. (3),$\mathbf{J} = \mathbf{A} + \mathbf{B}$, Deshalb$J_1 = A_1 + B_1$Und

$$J_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}\tag{14}$$

das sieht kaum danach aus$J_1$für die Vektordarstellung.

Irgendwo auf der Linie ist ein Fehler, aber ich sehe ihn nicht. Jede Hilfe und Beratung wird sehr geschätzt.