Eine Frage aus Weinberg QFT-Text

Auf Seite 71 Weinbergs QFT,

A Ψ A , B θ   =   ( A cos ⁡ ( θ ) − B Sünde ⁡ ( θ ) ) Ψ A , B θ .

Er sagt, dass masselose Teilchen vertreten durch Ψ A , B θ Es wird nicht beobachtet, dass sie den kontinuierlichen Freiheitsgrad aufweisen θ . Ich verstehe nicht warum.

Diese Ψ A , B θ sind Eigenzustände von A mit Eigenwert A Wo

U [ W ( a , β , θ ) ]   =   1 + ich a A + ich β B + ich θ J 3 .

W ist ein Element der kleinen Gruppe mit einer originalgetreuen Darstellung D ( W ) .

Sie sollten die notwendigen Formeln replizieren; nicht jeder wird Zugang zu dem Text haben.
Ich habe vielleicht den Grund gefunden, es kann sein, dass es keinen Referenzrahmen gibt, in dem das Photon ruht, so dass es unmöglich ist, SO (2) als Invarianzgruppe dafür zu haben. Ist das richtig ?
Das ist der Grund für die kleine Gruppe --- die kleine Gruppe wäre SO(3), wenn das Teilchen anhalten könnte (Rotationen im Ruhesystem). Diese Frage veranlasste mich, nach meiner Kopie von Weinberg zu suchen – können Sie bitte den Symbolkontext angeben? Was macht er hier? Dies ist wahrscheinlich ein Argument, das besagt, dass, wenn Sie eine masselose Darstellung drehen, die verschiedenen Winkel kein Kontinuum nicht unterscheidbarer Partikel sind, aber die Details des Arguments sind das, wonach Sie fragen, und jeder erfindet ein ideosynkratisches Argument für dieses Zeug.
sehr schön, genau beobachtet!

Antworten (2)

Weinberg verwendet eine empirische Tatsache („werden nicht beobachtet“), um diesen Fall in seiner Analyse zu eliminieren. Er sagt, dass es solche Darstellungen gibt, aber dass sie irrelevant sind, da sie nicht mit der Beobachtung übereinstimmen.

Tatsächlich kommen solche einheitlichen Darstellungen in Wigners Klassifikation vor; sie sind die sogenannten kontinuierlichen Spindarstellungen. Aber Weinberg will nicht mehr Repräsentationstheorie betreiben als nötig und bezieht sich daher auf die Erfahrung, um eine Abkürzung nehmen zu können.

Tatsächlich kann man die kontinuierliche Spindarstellung auch durch Kausalitätsargumente eliminieren, und ein Schüler von Weinberg tat dies; siehe Abt, Phys. Rev. D 13 (1976), 2291-2294. Aber diese Argumente sind langwierig. Da sie nicht zu kausalen Quantenfeldern führen, gibt es wenig Grund, solche Argumente in einem grundlegenden QFT-Lehrbuch anzuführen.

Die Antwort ist einfach, weil beobachtete masselose Teilchen immer gehorchen E = P C

Es hilft, zuerst zu sehen, was hier vor sich geht: A und B sind Boost/Rotations-Transformationen, die den Impulsvektor invariant lassen, der ein masseloses Teilchen darstellt, das sich in z-Richtung ausbreitet. Nun, warum ändern sie das Momentum nicht?

Nun, A und B , die auf einen Impuls in z-Richtung wirken, repräsentieren beide eine Zentrifugalbeschleunigung K (orthogonal zum z-Impuls), die durch eine Gegenrotation J kompensiert wird . Die Gesamtwirkung von A (sowie B ) ist daher einfach Null.

Einen orthogonalen Boost-Vorgang kann man auf diese Weise eigentlich immer mit einer Drehung in die andere Richtung kompensieren, auch für Teilchen mit Masse, also ist diese Gruppe hier eigentlich nicht nur für masselose Teilchen eindeutig.

Was es mit masselosen Teilchen verbindet, ist das Verhältnis zwischen K und J und die Tatsache, dass dieses Verhältnis für jeden Impuls in z-Richtung funktioniert. Das bringt uns zur Antwort: Das J und das K heben sich wegen des festen Verhältnisses zwischen E und p auf, eine Eigenschaft masseloser Teilchen.

Der allgemeine Fall ist. A cos ⁡ θ   +   B Sünde ⁡ θ

Wo θ ist der Winkel, der die Richtung der Zentrifugalbeschleunigung in der xy-Ebene bestimmt. Kleine Spitzfindigkeit über seine Zeichen: In einem rechtshändigen Koordinatensystem sollten sie sein:

J 3   ,         A   :=   J 2 − K 1   ,         B   := − J 1 − K 2

Beachte, dass wenn du die Richtung des Impulses umkehrst, (k,0,0-k) statt (k,0,0,k), dass sich auch die Vorzeichen der Generatoren ändern. In diesem Fall bekommen Sie in der Tat.

J 3   ,         A   :=   J 2 + K 1   ,         B   := − J 1 + K 2

Damit sollte man rechnen, denn unter räumlicher Inversion verhält sich K wie ein Vektor und J wie ein Pseudovektor.

Hans.

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