Können alle 4-D-Spaltenmatrizen als Tensorprodukt von 2-D-Spaltenmatrizen angegeben werden?

Wenn wir uns die Hilbert-Räume selbst ansehen, finden wir tatsächlich die rätselhafte Gleichheit

$$\mathbb{C}^2\times\mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4$$ Das Tensorprodukt der Qubit-Räume ist also gleich den Paaren nicht verschränkter Zustände. So scheint es zumindest.

Die vordergründige Gleichheit ist im physikalischen Zusammenhang falsch, weil die Isomorphie zwischen$\mathbb{C}^2\times\mathbb{C}^2$Und$\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2$würde die Karte nicht geben$v\times w = (v,w)\mapsto v\otimes w$, aber von einem anderen. In der Tat, die Karte

$$\mathbb{C}^2\times\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2, (v_1,v_2,w_1,w_2)\mapsto v\otimes w = (v_1w_1,v_1w_2,v_2w_1,v_2w_2)$$ ist kein Isomorphismus, da Vektoren wie $(1,0,0,1)$Lügen Sie nicht in seinem Bild. Obwohl die Räume von nicht verschränkten und allen Zuständen abstrakt isomorph sind, sind sie es nicht in einer Weise, die darauf hindeuten würde, dass alle Zustände verschränkt sind.

Der Übergang zum projektiven Hilbert-Raum erledigt das für uns (entfernt die oberflächliche Gleichheit), und dann erhalten wir die Segre-Einbettung der unverschränkten Zustände in den Gesamtraum:

$$S^2 \times S^2 \to P\mathbb{C}^4$$ Wo $S^2 = P\mathbb{C}^2$ist die bekannte Bloch-Kugel . Diese Abbildung ist nicht bijektiv, sondern nur ein "Teil" der größeren Hopf-Faserung $$S^3\to S^7\to S^4$$ die verwendet werden können, um das vollständige Zwei-Qubit-System zu beschreiben. (Für Details zu dieser Hopf-Faserung siehe "Geometry of verschränkte Zustände, Bloch-Sphären und Hopf-Fibrationen" von R. Mosseri und R. Dandoloff)