In meiner Klasse wurde gesagt, dass Ensemble-Zerlegungen eines Dichteoperators nicht eindeutig sind, sondern dass die existierenden durch einen einheitlichen Operator verknüpft sind. Ich versuche das zu beweisen, aber ich bleibe irgendwo auf dem Weg hängen.
Beginnen wir mit der Annahme von zwei verschiedenen Zerlegungen des Dichteoperators :
Nun leben diese beiden Zerlegungen in einem Hilbert-Raum . Wir können dann eine Reinigung von beiden definieren, indem wir ein durch einen Hilbert-Raum beschriebenes System verwenden von Dimension , damit wir bekommen Und .
Nun, hier können wir verwenden, dass, da diese reinen Zustände Reinigungen des gleichen Dichteoperators sind, es eine Einheit geben muss verbinden: .
Hier bleibe ich hängen. Ich sollte dies verwenden können, um die einheitliche Beziehung zwischen den zu beweisen und das , aber es ist mir nicht klar, wie ich das machen soll.
Update: Nachdem ich die Kommentare zur ersten Frage überprüft hatte, hätte ich schreiben sollen, dass die Und Zustände müssen per se NICHT orthonormal sein.
Wir werden den folgenden Satz beweisen:
Lassen sei eine Eigenwertzerlegung und ( ). Dann, dann und nur dann, wenn
mit , dh, ist eine Isometrie.
Beweis :
Die "Wenn"-Richtung ist einfach:
Um die Umkehrung zu beweisen, lassen Sie
Wenn die keine Orthonormalbasis bilden, können wir den Satz verallgemeinern, indem wir eine Orthonormalbasis durchlaufen : Dann,
Willst du unbedingt haben Und , oder eine äquivalente Bedingung, die sicherstellt, dass beide Ensemble-Zerlegungen optimal sind. Andernfalls ist es einfach, auf viele verschiedene, völlig unabhängige Zerlegungen zu kommen.
Aufgrund der Optimalitätsbedingung sind beide Zerlegungen Eigenzerlegungen von . Somit Und , wenn wir bestellen Und nach abnehmender Größe. Der Und für einen bestimmten Eigenwert sind eine orthonormale Basisbasis für den entsprechenden Eigenraum, daher sind sie durch einen einheitlichen Operator verknüpft. Erweitern Sie für den globalen unitären Operator Und auf eine orthonormale Basis und dann einfach abbilden Zu . Dies funktioniert auch, wenn die Und sind nicht bestellt, nur wegen Und .
Vielleicht besteht die eigentliche Aufgabe hier darin, zu zeigen, dass eine optimale Zerlegung impliziert . Dies hängt mit Eigenschaften der Singulärwertzerlegung zusammen , die eine knappe Beschreibung der optimalen Näherungen bezüglich der Frobenius-Norm und der Spektralnorm gibt . Hinweis: Die Bedingung Und reicht nicht aus, um diese Art von Optimalität zu beschreiben, auch wenn ich das ursprünglich behauptet habe. Diese Frage stellt sich also als etwas fortgeschritten heraus, da es nicht trivial ist, den Sinn zu beschreiben, in dem die Zerlegung optimal ist, wenn Sie sich nicht nur auf die Singularwertzerlegung für diesen Teil beziehen.
Hier ist ein einfaches Gegenbeispiel zum Kommentar von Norbert Schuch, dass "zwei Zerlegungen durch Isometrien zusammenhängen, unabhängig davon gilt , ob die Vektoren orthonormal sind":
Keine Isometrie kann abbilden Zu , auch nicht bei Umskalierung, da Isometrien Winkel erhalten. Das erste Vektorpaar ist nahezu parallel, während das zweite Vektorpaar orthogonal ist.
Maris Ozols
Benutzer129412
Maris Ozols