Visualisierung von nnn-dimensionalen Hilbert-Räumen

Es kann hilfreich sein, zunächst ein breiteres Verständnis davon zu bekommen, was ein Vektorraum ist. Das bei weitem häufigste Beispiel für einen Vektorraum ist eine Reihe kleiner Pfeile, die Sie von Spitze zu Schwanz addieren und durch Strecken multiplizieren.

Wenn Sie beispielsweise in diesem Wikipedia-Artikel die Definition eines Vektorraums nachschlagen, stellen Sie fest, dass es sich um eine Menge von Objekten handelt, die zusammengezählt und mit Zahlen multipliziert werden können. Bestimmte Regeln müssen gelten, um sicherzustellen, dass die Art und Weise, wie Addition und Multiplikation funktionieren, der üblichen Weise entsprechen. Pfeile passen zur Definition, aber auch viele andere Dinge.

Einige weitere extrem häufige Vektorräume sind die Menge geordneter Paare, Tripel und anderer n-Tupel. Die Visualisierung der Menge geordneter 4-Tupel ist also die Visualisierung eines 4D-Vektorraums.

Es gibt andere Beispiele. Die Menge der Funktionen des Formats$a_0 + a_1 x + a_x x^2$ist eine Menge von Objekten, die addiert und mit Zahlen multipliziert werden können. Es ist ein 3D-Vektorraum. Sie können es als Graphen visualisieren – eine Reihe von Linien und Linien und Parabeln. Ein 4D- oder 5D-Raum hat einige kompliziertere Kurven.

Daran denken Sie normalerweise nicht, wenn Sie sich einen Vektorraum vorstellen, aber es hängt mit der Art von Vektorraum zusammen, der in der Quantenmechanik verwendet wird. In der Quantenmechanik dreht sich alles um Wellenfunktionen. Die Menge aller Wellenfunktionen ist der Vektorraum, den Sie visualisieren müssen.

Dieser ist aus mehreren Gründen komplexer als der vorherige Funktionsraum. Erstens werden die Funktionen im 3D-Raum statt in einer 1D-Zahlenlinie definiert. Zweitens ist der Wert der Funktion an jedem Punkt eine komplexe Zahl anstelle einer reellen Zahl. Drittens gibt es eine Einschränkung, welche Funktionen im Raum erlaubt sind. Die Magnitude errechnet sich aus$\int \psi^*\psi dx$. Die Größe muss 1 sein.

Es ist also immer noch eine Herausforderung, sich das vorzustellen. Aber zumindest erfordert es keine Visualisierung von Pfeilen im N-dimensionalen Raum.

Die einfachste Darstellung besteht darin, die Vektoren als zu visualisieren$n \times 1$Spaltenmatrizen. Duale Raumvektoren sind$1 \times n$Zeilenmatrizen. Das Skalarprodukt ist eine Matrixmultiplikation zwischen Zeilenvektoren und Spaltenvektoren.

Beispielsweise entsprechen die drei orthogonalen Raumachsen drei Positionen in a$3\times 1$Spaltenmatrix. In einem (n$n$-dimensionale Matrix, die orthogonalen Achsen werden durch Spaltenmatrizen mit a dargestellt$1$in einer Reihe und$0$in jeder zweiten Reihe.