Unendlich dimensionale Vektorräume im Vergleich zum dualen Raum

Es gibt zwei Konzepte der Dualität für Vektorräume.

Eines ist das algebraische Dual , das die Menge aller linearen Abbildungen ist. Genau, wenn ein Vektorraum gegeben ist$V$über ein Feld$\mathbb{K}$, das algebraische Dual$V_{alg}^*$ist die Menge aller linearen Funktionen$\phi:V\to \mathbb{K}$. Dies ist eine Teilmenge von$\mathbb{K}^V$, die Menge aller Funktionen aus$V$zu$\mathbb{K}$. Der Beweis, den Sie bei math overflow sehen können, verwendet grob gesagt die Tatsache, dass die Kardinalität von$\mathbb{K}^V$ist strikt größer als die Kardinalität von$\mathbb{K}$wenn$V$ist unendlichdimensional und hat mindestens die gleiche Mächtigkeit wie$\mathbb{K}$.

Für algebraische Duale hat also das Dual jedes unendlichen Vektorraums eine größere Dimension als der ursprüngliche Raum.

Das andere Konzept ist das topologische Dual , das nur auf topologischen Vektorräumen definiert werden kann (da ein Begriff der Kontinuität benötigt wird). Gegeben sei ein topologischer Vektorraum$T$, das topologische Dual$T_{top}^*$ist die Menge aller stetigen linearen Funktionale (stetig bzgl. der Topologie von$T$). Es ist eine echte Teilmenge des algebraischen Duals, dh$T_{top}^*\subset T_{alg}^*$.

Für topologische Duale macht die Beschränkung auf stetige Funktionale die vorherige Aussage falsch (dh es gibt unendlich dimensionale topologische Vektorräume, deren topologisches Dual die gleiche Dimension wie der ursprüngliche Raum hat).

Das übliche Beispiel sind Hilbert-Räume, in denen der Riesz-Darstellungssatz gilt (siehe meinen Kommentar oben): ein beliebiges Objekt des topologischen Duals$H^*_{top}$eines Hilbertraums$H$kann über Isomorphismus mit einem Element von identifiziert werden$H$. Ein Hilbert-Raum und sein Dual sind also "gleich".

Beachten Sie jedoch, dass das topologische Dual immer als "größer (oder vielleicht gleich)" als der ursprüngliche Raum angesehen wird. Ich bin hier sehr unpräzise, ​​aber ich denke, das folgende Beispiel verdeutlicht. Denken Sie an die Verteilungen$\mathscr{S}'(\mathbb{R})$. Dies ist das topologische Dual der Funktionen der schnellen Abnahme$\mathscr{S}(\mathbb{R})$. Beliebig$f\in \mathscr{S}$ist isomorph zu einer Verteilung in$\mathscr{S}'$, aber das Gegenteil ist offensichtlich nicht wahr: Es gibt Verteilungen, die keine Funktionen sind (das Dirac-Delta), und im Allgemeinen alle$L^p$-Raum wird als Teilmenge von gedacht$\mathscr{S}'$(so$\mathscr{S}'$ist ziemlich "groß")).

Wenn wir uns auf Vektorräume ohne zusätzliche Struktur beschränken, ist der Satz wahr.

Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, darauf hinzuweisen, dass jedes Mitglied$f$des dualen Raums ist eindeutig definiert durch den Wert, den er zurückgibt, wenn er auf der Basis handelt$\{\psi_n\}$, sagen$f(\psi_n) = z_n$für komplexe Zahlen$z_n$. Dann$V^*$ist isomorph zu$\mathbb{C}^\mathbb{N}$, die Menge der Folgen komplexer Zahlen. Das ist eine bekannte Tatsache$\mathbb{R}^\mathbb{N}$hat keine abzählbare Basis als Vektorraum darüber$\mathbb{R}$, und es ist eine einfache Sache, dies zu erweitern$\mathbb{C}^\mathbb{N}$nicht mit einer zählbaren Grundlage über$\mathbb{C}$. Wenn dies nicht intuitiv erscheint (z. B. Sie springen zum Denken an die "Basis"$\{(1,0,0,\ldots), (0,1,0,\ldots), \ldots\}$), ist der Schlüssel, dass in rohen Vektorräumen nur endliche Summen erlaubt sind; Was würde es überhaupt bedeuten, eine unendliche Anzahl von Vektoren ohne einen Begriff der Konvergenz hinzuzufügen?

Ein eher physikalisch inspiriertes Argument gegen die Idee, dass komplexe Konjugation (eine Basis für) alle Mitglieder von ergibt$V^*$ist es, Delta-Funktionen zu betrachten. Für einige$x_0$Betrachten Sie im Intervall "$\delta(x-x_0)$," die "Funktion", die dagegen integriert$f \in V$zurückgeben$f(x_0)$. In Wirklichkeit,$\delta$ist ein vollkommen gültiges Mitglied von$V^*$, definiert von$\delta(\psi_n) = \psi_n(x_0)$. Vermuten$\delta = a_1 \psi_{n_1}^* + \cdots + a_k \psi_{n_k}^*$geschrieben werden konnte. Aber dann$a_1^* \psi_{n_1} + \cdots + a_k^* \psi_{n_k}$wäre eine vollkommen wohlerzogene endliche Summe von Sinus, die das komplexe Konjugat der Delta-"Funktion" wäre - ein eindeutig unsinniges Ergebnis. Neben,