Verwendung von „vollständig“ wie in „vollständiger Satz von Zuständen“ oder „vollständige Basis“

Abhängig von der mathematischen Struktur, die Sie in Betracht ziehen, gibt es mindestens drei Basisbegriffe. Ich werde schnell drei Fälle diskutieren, die in der Physik relevant sind (topologische Vektorräume sind ebenfalls relevant, aber ich werde sie der Kürze halber nicht berücksichtigen).

(1) Reine algebraische Struktur (dh Vektorraumstruktur über dem Körper$\mathbb K=$ $\mathbb R$oder$\mathbb C$, eigentlich gilt die Definition auch für Module).

Basis im Sinne von Hamel.

Gegeben sei ein Vektorraum$V$über das Feld$\mathbb K$, ein Satz$B \subset V$heißt algebraische Basis oder Hamel-Basis , wenn ihre Elemente linear unabhängig und alle sind$v \in V$kann zerlegt werden als:

$$v = \sum_{b \in B} c_b b$$ für eine endliche Menge nicht verschwindender Zahlen$c_b$in$\mathbb K$es hängt davon ab$v$.

Vollständigkeit von$B$bedeutet hier, dass die Menge der endlichen Linearkombinationen von Elementen in$B$umfasst (tatsächlich zusammenfällt) den gesamten Raum$V$.

Bemerkungen.

• Diese Definition gilt auch für unendlich dimensionale Vektorräume. Die Existenz algebraischer Basen ergibt sich aus dem Lemma von Zorn.

• Es ist möglich zu beweisen, dass alle algebraischen Basen die gleiche Kardinalität haben.

• Zersetzung von$v$über die Basis$B$stellt sich als einzigartig heraus .

(2) Struktur des Banachraums (d. h. der Vektorraum über$\mathbb K$lässt eine Norm zu$||\:\:|| : V \to \mathbb R$und es ist vollständig in Bezug auf die durch diese Norm induzierte metrische Topologie).

Basis im Sinne von Schauder.

Gegeben sei ein unendlichdimensionaler Banachraum$V$über das Feld$\mathbb K = \mathbb C$oder$\mathbb R$, eine abzählbare geordnete Menge$B := \{b_n\}_{n\in \mathbb N} \subset V$heißt Schauder-Basis , wenn überhaupt$v \in V$kann eindeutig zerlegt werden als:

$$v = \sum_{n \in \mathbb N} c_n b_n\quad (2)$$ für eine Menge, im Allgemeinen unendlich, von Zahlen $c_n \in \mathbb K$es hängt davon ab $v$wobei sich die Konvergenz der Summe sowohl auf die Banachraum-Topologie als auch auf die bei der Kennzeichnung verwendete Reihenfolge bezieht $B$. Identität (2) bedeutet: $$\lim_{N \to +\infty} \left|\left|v - \sum_{n=1}^N c_{n} b_n\right|\right| =0$$

Vollständigkeit von$B$bedeutet hier, dass die Menge der abzählbar unendlichen Linearkombinationen von Elementen in$B$umfasst (tatsächlich zusammenfällt) den gesamten Raum$V$.

Bemerkungen.

• Die Elemente einer Schauder-Basis sind linear unabhängig (sowohl für endliche als auch für unendliche Linearkombinationen).

• Ein unendlichdimensionaler Banach-Raum lässt auch Hamel-Basen zu, da er auch ein Vektorraum ist. Allerdings lässt sich nachweisen, dass Hamel-Basen immer unzählige Male anders sind als Schauder-Basen.

• Nicht alle unendlichdimensionalen Banach-Räume lassen Schauder-Basen zu. Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung ist, dass der Raum trennbar sein muss (nämlich eine dichte zählbare Teilmenge enthält).

(3) Hilbertraumstruktur (d. h. der Vektorraum über$\mathbb K$lässt ein Skalarprodukt zu$\langle \:\:| \:\:\rangle : V \to \mathbb K$und sie ist vollständig bezüglich der durch die Norm induzierten metrischen Topologie$||\:\:||:= \sqrt{\langle \:\:| \:\:\rangle }$).

Basis im Sinne von Hilbert (Riesz- von Neumann).

Gegeben sei ein unendlichdimensionaler Hilbert-Raum$V$über das Feld$\mathbb K = \mathbb C$oder$\mathbb R$, ein Satz$B \subset V$heißt Hilbert-Basis , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

(1)$\langle z | z \rangle =1$und$\langle z | z' \rangle =0$wenn$z,z' \in B$und$z\neq z'$, dh$B$ist ein Orthonormalsystem ;

(2) wenn$\langle x | z \rangle =0$für alle$z\in B$dann$x=0$(dh$B$bezüglich der Orthogonalitätsanforderung maximal ist).

Hilbertbasen werden auch vollständige Orthonormalsysteme (von Vektoren) genannt.

Die relevanten Eigenschaften von Hilbert-Basen sind vollständig in den folgenden Sätzen enthalten.

Vorschlag. Wenn$H$ein (komplexer oder reeller) Hilbertraum ist und$B\subset H$ist dann für alle ein Orthonormalsystem (nicht notwendigerweise vollständig).$x \in H$die Menge der nicht verschwindenden Elemente$\langle x| z \rangle$mit$z\in B$ist höchstens zählbar.

Satz. Wenn$H$ein (komplexer oder reeller) Hilbertraum ist und$B\subset H$eine Hilbert-Basis ist, dann gelten die folgenden Identitäten, wobei die Reihenfolge, in der die unendlichen Summen (tatsächlich zählbare Summen aufgrund des vorherigen Satzes) berechnet werden, keine Rolle spielt:

$$||x||^2 = \sum_{z\in B} |\langle x| z\rangle|^2\:, \qquad \forall x \in H\:,\qquad (3)$$

$$\langle x| y \rangle = \sum_{z\in B} \langle x|z \rangle \langle z| y\rangle\:, \qquad \forall x,y \in H\:,\qquad (4)$$

$$\lim_{n \to +\infty} \left|\left| x - \sum_{n=0}^N z_n \langle z_n|x \rangle \right|\right| =0\:, \qquad \forall x \in H \:,\qquad (5)$$

bei dem die$z_n$sind die Elemente drin$B$mit$\langle z|x\rangle \neq 0$.

Wenn ein orthonormales System eine der drei obigen Anforderungen erfüllt, dann ist es eine Hibertsche Basis.

Vollständigkeit von$B$bedeutet hier, dass die Menge der unendlichen Linearkombinationen von Elementen in$B$umfasst (tatsächlich zusammenfällt) den gesamten Raum$H$.

Bemerkungen.

• Die Elemente einer Hilbert-Basis sind linear unabhängig (sowohl für endliche als auch für unendliche Linearkombinationen).

• Alle Hilbert-Räume lassen entsprechende Hilbert-Basen zu. In einem festen Hilbertraum haben alle Hilbertbasen die gleiche Kardinalität.

• Ein unendlichdimensionaler Hilbert-Raum ist genau dann separabel (dh er enthält eine dichte abzählbare Teilmenge), wenn er eine abzählbare Hilbert-Basis zulässt.

• Ein unendlichdimensionaler Hilbert-Raum lässt auch Hamel-Basen zu, da er auch ein Vektorraum ist.

• In einem trennbaren unendlichdimensionalen Hilbert-Raum ist eine Hilbert-Basis auch eine Schauder-Basis (die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch).

LETZTE KOMMENTARE.

• Identitäten wie diese:

  $$\sum_n \phi_n(x) \phi_n^*(x') = \frac{1}{w(x)}\delta(x-x') \,\qquad (6)$$ Bleiben Sie der Vollständigkeit halber Eigentum einer Hilbert-Basis$L^2(X, w(x)dx)$: Identität (6) ist nichts anderes als eine formale Version der obigen Gleichung (4). Eine solche Identität ist jedoch vollständig formal und gilt im Allgemeinen nicht, wenn$\{\phi_n\}$ist eine Hilbert-Basis von$L^2(X, w(x)dx)$(auch weil der Wert von$\phi_n$bei$x$keinen Sinn darin$L^2$Räume, da ihre Elemente bis zu Nullmaßmengen definiert sind und$\{x\}$hat Nullmaß). Diese Identität gilt manchmal streng, wenn (1) die Funktionen$\phi_n$ausreichend regulär sind und (2) die Identität im Sinne einer Verteilung verstanden wird , wobei mit entsprechend glatten Testfunktionen gearbeitet wird, wie z${\cal S}(\mathbb R)$in$\mathbb R$.

• Im$L^2(\mathbb R, d^nx)$Leerzeichen Alle Hilbert-Basen sind abzählbar . Denken Sie an die Basis der Eigenvektoren des Hamilton-Operators eines harmonischen Oszillators in$L^2(\mathbb R)$(in$\mathbb R^n$man kann a verwenden$n$dimensionaler harmonischer Oszillator). Für praktische Berechnungen ist es jedoch praktisch, auch von formalen Eigenvektoren beispielsweise des Ortsoperators zu sprechen:$|x\rangle$. In diesem Fall,$x \in \mathbb R$so könnte es scheinen$L^2(\mathbb R)$gibt auch unzählige Basen zu. Ist es falsch!$\{|x\rangle\}_{x\in \mathbb R}$ist keine orthonormale Basis. Es ist nur ein formales Objekt , das bei Berechnungen (sehr) nützlich ist. Will man diese Objekte rigoros machen, sollte man sich den Raum der Zustände als direktes Integral darüber vorstellen$\mathbb R$von endlichdimensionalen Räumen$\mathbb C$, oder als manipulierter Hilbert - Raum . Allerdings in beiden Fällen$\{|x\rangle\}_{x\in \mathbb R}$ist keine orthonormale Hilbertsche Basis. Und$|x\rangle$gehört nicht dazu$L^2(\mathbb R)$.

• Hilbert-Basen reichen nicht aus, um den Spektralzerlegungssatz für normale Operatoren in einem komplexen Hilbert-Raum zu formulieren und zu beweisen. Normale Operatoren$A$sind diejenigen, die überprüfen$AA^\dagger= A^\dagger A$, unitäre und selbstadjungierte sind Sonderfälle. Der Begriff der Hilbert-Basis reicht jedoch aus, um den besagten Satz für normale kompakte Operatoren oder normale Operatoren, deren Resolvente kompakt ist, aufzustellen. In diesem Fall ist das Spektrum ein reines Punktspektrum (mit nur einem möglichen Punkt im kontinuierlichen Teil des Spektrums). Dies geschieht zum Beispiel für den Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators. Im Allgemeinen muss man den Begriff des spektralen Maßes oder PVM (Projektorwertmaß) einführen, um den allgemeinen Fall zu behandeln.

Vollständiger Satz ist ein gut definierter Ausdruck.

Der Grund, warum Menschen manchmal zwischen vollständiger orthonormaler Menge (COS) und einer Basis unterscheiden, ist, dass jeder Vektor als endliche lineare Kombination von Elementen der Basis geschrieben werden kann (wenn Sie Basis im Sinne der linearen Algebra verwenden ). Während Sie für das COS eine unendliche Linearkombination benötigen.

Verwendet man die Basis im Sinne von Schauder , sind beide Definitionen gleichwertig.

Siehe meine verwandte Frage .

Ich glaube, das ist nur eine Frage des Vokabulars. So geht es in der Mathematik:

Eine Basis ist eine linear unabhängige aufspannende Menge des Vektorraums, dh eine Menge von Vektoren, so dass jeder Vektor im Raum eindeutig als endliche Linearkombination ausgedrückt werden kann.

In einem unendlichdimensionalen Hilbert-Raum sind solche Basen nicht so praktisch: Aufgrund des Baire-Kategoriensatzes muss eine Basis unabzählbar sein.

Wir verwenden also orthonormale Basen (auch bekannt als Hilbert-Basen), bei denen es sich um zählbare Mengen orthonormaler Vektoren handelt, sodass jeder Vektor als zählbare lineare Kombination von Elementen der orthonormalen Basis ausgedrückt werden kann.

Der Einfachheit halber lassen wir "Hilbert"/"orthonormal" weg und nennen es nur eine Basis; wir müssen "algebraisch" oder "Hamel" zu einer wahren Basis hinzufügen, um die beiden zu unterscheiden.

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Was Physiker als „einen vollständigen Satz von Zuständen“ bezeichnen, ist genau das, was ein Mathematiker „eine orthonormale Basis“ nennt.