Was ist eine Basis für den Hilbert-Raum eines 1-D-Streuzustands?

Angenommen, ich habe ein massives Teilchen in der nicht-relativistischen Quantenmechanik. Seine Wellenfunktion kann in der Positionsbasis geschrieben werden als

| Ψ ⟩ = Ψ x ( x , t )

oder in der Impulsbasis als

| Ψ ⟩ = Ψ p ( p , t )
.

Ψ x und Ψ p über eine Fourier-Transformation miteinander in Beziehung stehen.

Allerdings, wenn ich schreibe | Ψ ⟩ als Integral über unendlich viele "Positionsbasisvektoren"

| Ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ Ψ x ( x ) | x ⟩

dann die Positionsbasisvektoren ∣ x ⟩ sind Dirac-Delta-Funktionen - sie sind nicht wirklich Funktionen. Wenn wir versuchen, sie in der Impulsbasis darzustellen, erhalten wir nicht normierbare ebene Wellen. Diese Basisvektoren sind keine Mitglieder des physikalischen Hilbert-Raums.

Mein Bachelor-Quantentext erklärt, dass die Dirac-Deltas und ebenen Wellen Berechnungswerkzeuge sind, und demonstriert ihre Verwendung. Die Dirac-Deltas repräsentieren keine echten Wellenfunktionen. Ein reales Teilchen mit geringer Positionsunsicherheit hätte einfach eine Wellenfunktion mit einem hohen, aber endlichen Peak.

Ich bin damit einverstanden; Ich glaube, ich verstehe, wie man die Berechnungen durchführt und was sie bedeuten. Ich bin mir jedoch immer noch nicht sicher, wie ich eine Basis für den physikalischen Hilbert-Raum finden soll, der tatsächlich aus Vektoren im Raum besteht.

Im gebundenen Zustand ohne Entartung bilden die Energieeigenfunktionen eine Basis. Der physikalische Hilbertraum besteht dann aus allen Linearkombinationen der Energieeigenfunktionen. Wenn wir uns jedoch in einen streuenden Zustand bewegen, wird das Spektrum der Energieeigenwerte kontinuierlich und die Energieeigenfunktionen sind nicht normalisierbar, da sie im Wesentlichen die gleichen sind wie die Impuls-Eigenfunktionen der ebenen Welle.

Da der Streuzustand einen physikalischen Hilbert-Raum normierbarer Wellenfunktionen hat, sollte ich nicht in der Lage sein, eine Basis zu finden, die aus Elementen des physikalischen Hilbert-Raums selbst besteht, auch wenn diese Basis für Berechnungen nicht geeignet ist?

Gibt es ein Beispiel für eine solche Basis für ein freies Teilchen?

Sie sagen: "Ich bin mir jedoch immer noch nicht sicher, wie ich eine Basis für den physikalischen Hilbert-Raum finden soll." -> Ich auch, weil es unendlich viele Basen gibt (sogar vernünftige), also habe ich keine Ahnung, nach welcher Sie suchen.
Wenn Sie nach einer "Glättung" von "Eigenzuständen" des kontinuierlichen Spektrums suchen, ist es möglicherweise gut, zunächst darüber nachzudenken, dass das Arbeiten mit Vektoren aus konzeptioneller Sicht möglicherweise nicht die beste Idee ist (Sie sind offensichtlich nicht zufrieden mit aus rechnerischer Sicht, denn dafür braucht man nichts außer Dirac-Deltas). Dafür könnten Sie stattdessen in Betracht ziehen, Vektoren ganz zu vergessen und nur die Algebra der Operatoren (die berühmte C*-Algebra von von Neumann) zu betrachten, die bereits alle Informationen und kein Dirac-Delta-Zeug enthält.
@Marek Mit "einer Grundlage" meinte ich, dass jede Grundlage ausreichen würde, um meine Neugier auf die Materie zu befriedigen.
Ich möchte pedantisch sein und darauf hinweisen, dass Wellenfunktionen geschrieben werden sollten: ⟨ x | Ψ ⟩ = … .
Bitte beheben Sie die Frage: Sie können mit Sicherheit eine Wellenfunktion in der Form schreiben, in der Sie sagen, dass Sie sie nicht schreiben können.
@Ron Bitte sorgfältiger lesen. Ich weiß, dass Sie die Wellenfunktion in die Positionsbasis schreiben können. Meine Frage besagt richtig, dass die "Positionsbasis" keine Basis für den physikalischen Hilbert-Raum ist, da sich ihre Elemente nicht im Hilbert-Raum befinden. Daher kann ich die Wellenfunktion nicht als Summe über "Positionsbasisvektoren" schreiben, da es im Hilbert-Raum keine solchen Vektoren gibt.
Aber Sie können immer noch in einer Pseudobasis expandieren, indem Sie Integrale verwenden. Der Begriff "Basis" in der Quantenmechanik schließt Verteilungsbasen ein, und daher ist die Formel, die Sie schreiben, eine korrekte Erweiterung. Es ist genau dasselbe wie bei der Fourier-Transformationsformel, bei der die Entwicklung in p-Zuständen genauso ein Grenzprozess ist, weil die p-Zustände nicht im Hilbert-Raum, sondern in seiner Verteilungsvervollständigung liegen.
@Ron Ich bin nicht anderer Meinung. Ich werde den Wortlaut etwas ändern.

Antworten (3)

Wenn ich das richtig verstehe, läuft Ihre Frage im Wesentlichen darauf hinaus, eine Basis für den Raum quadratintegrierbarer Funktionen zu identifizieren. L 2 ( R ) , da jeder physikalische Zustand | Ψ ⟩ kann konstruiert werden, indem das Integral, das Sie in Ihrer Frage aufgelistet haben, mit einer Funktion ausgeführt wird Ψ x ( x ) ∈ L 2 ( R ) . L 2 ist bekanntlich ein Vektorraum, also muss eine Basis existieren. Aus dem Kopf, denke ich, wäre ein Beispiel

f k ( x ) = e − x 2 / a 2 − ich k x

das ist nur die normale ebene Wellenbasis e − ich k x multipliziert mit einer Gaußschen Hüllkurve e − x 2 / a 2 wo a ist etwas konstant. Die Multiplikation mit dieser Gaußschen Hüllkurve stellt sicher, dass die Funktionen quadratintegrierbar sind, aber da Sie für jedes Element der Basis dieselbe Hüllkurve verwenden, können Sie sie aus der Fourier-Transformation ausklammern, sodass keine der wesentlichen Eigenschaften geändert werden der Impulsraumzerlegung.

PS Ich habe eine Frage zu math.SE gefunden, die verwandt zu sein scheint und die diese Antwort motiviert hat.

Recht. In ähnlicher Weise kennen wir Dutzende anderer Basen, die den Eigenzuständen des einen oder anderen Hamiltonoperators entsprechen. Natürlich ist keines davon in irgendeiner Weise natürlich (oder auch nur nützlich) für ein willkürliches allgemeines Problem.

Die Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operators liegen außerhalb des Hilbert-Raums quadratisch integrierbarer Funktionen auf der Geraden. Eine Lösung besteht darin, mit einer Basis von Eigenfunktionen eines nicht-selbstadjungierten Operators wie z. B. zu arbeiten x + ich p . Dies sind natürlich die kohärenten Zustände. Für die kohärenten Zustände hat man eine übervollständige Basis und eine Partition der Einheit, daher ist es nicht schwierig, jeden Vektor darin zu zerlegen L 2 ( R ) .

Eine andere Möglichkeit besteht darin, mit einem manipulierten Hilbert-Raum zu arbeiten, der eine Formalisierung von Diracs Bra- und Ket-Methode ist. Eine sehr gute Darstellung manipulierter Hilbert-Räume findet sich im Artikel von Francois Gieres . Bei dieser Variante arbeitet man mit den Eigenzuständen des Ortsoperators, erinnert sich aber daran, dass diese nicht zum Hilbert-Raum gehören, sondern zu einem Banach-Raum, der auch Verteilungen enthält.

Ich möchte darauf hinweisen, dass kohärente Zustände keine wahren Eigenfunktionen sind, sondern nur linke oder rechte (aber nicht beide) Eigenfunktionen. Außerdem ist eine übervollständige Basis eine Art Oxymoron. Ich würde einfach den Begriff Spanning Set verwenden.
Übervollständigkeit ist ein gut definiertes mathematisches Konzept. en.wikipedia.org/wiki/Overcompleteness Ich glaube nicht, dass ich die Verwendung der Terminologie eines Spanning-Sets in Verbindung mit der Auflösung der Einheit gesehen habe. Vielleicht bevorzugen Sie den Begriff Tight Frame, der auf der Wikipedia-Seite definiert ist (was natürlich für die kohärenten Zustände gilt).
@Marek: Der Begriff "übervollständige Basis" ist jedoch in Lehrbüchern und Literatur üblich - es wird jetzt schwierig sein, den Netzwerkeffekt zu überwinden.
@David: Ich habe kein Problem mit Übervollständigkeit. Ich mag einfach keine übervollständige Basis (die der Wikipedia-Artikel aus gutem Grund vermeidet). Obwohl ich Genneth zustimme, dass es jetzt schwer sein wird, es zu ändern ...
Bitte verlinken Sie in Zukunft auf die arXiv-Abstract-Seite statt auf die pdf-Datei, zB arxiv.org/abs/quant-ph/9907069

Sie können jede Funktion in erweitern L 2 ( R ) in der (nicht unbedingt normierbaren) Eigenbasis eines beliebigen Hamiltonoperators. Sie müssen also nur einen mit einem diskreten Spektrum auswählen. Dann sind die Eigenvektoren normalisierbar und Ihre Erweiterung ist eine Summe. (Der Hilbert-Raum ist für alle nicht singulären Hamilton-Operatoren mit einem dof gleich, nur auf unterschiedliche Weise erweitert, um unterschiedliche Physik zu erhalten.)

Was ist eine Basis für den Hilbert-Raum eines 1-D-Streuzustands?
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