Warum verwenden wir L2L2L_2 Space im QM?

Hier gehen wir davon aus, dass OP die grundlegenden physikalischen Prinzipien/Postulate/Axiome der Quantenmechanik nicht in Frage stellt , wie z. B. die Notwendigkeit, einen Hilbert-Raum zu haben$H$an erster Stelle usw.; und dass OP nur über die Rolle nachdenkt$L^2$-Leerzeichen (im Gegensatz zu z. B.$L^1$-Leerzeichen).

Betrachten wir der Konkretheit und Einfachheit halber den dreidimensionalen Ortsraum$\mathbb{R}^3$. Man nutzt die$L^2$-Platz$H=L^2(\mathbb{R}^3)$als Hilbert-Raum aus verschiedenen Gründen:

1. Eine klar definierte Norm haben

   $$\tag{1} ||\psi||_p~:=~\left(\int d^3x ~ |\psi(x)|^p\right)^{\frac{1}{p}}, \qquad p~=~2.$$ [Die Norm (1) funktioniert tatsächlich für alle$L^p$-Platz $L^p(\mathbb{R}^3)$mit$p\geq 1$.]

2. Um ein wohldefiniertes inneres Produkt / eine sesquilineare Form zu haben,

   $$\tag{2} \langle \phi, \psi\rangle ~:=~\int d^3x ~ \phi^*(x)\psi(x).$$ Insbesondere der Integrand$\phi^*\psi$sollte integrierbar sein , dh i) Lebesgue -messbar , und ii) der absolutwertige Integrand sollte ein endliches Integral haben: $$\tag{3} \int d^3x ~ |\phi^*(x)\psi(x)|~<~\infty.$$ Beweis von Gl. (3): Beachten Sie die Ungleichung $$\tag{4} (|\phi(x)|-|\psi(x)|)^2 \geq 0\qquad \Leftrightarrow\qquad 2|\phi(x)^*\psi(x)| \leq |\phi(x)|^2+|\psi(x)|^2,$$ damit der Integrand$\phi^*\psi$in das innere Produkt (2) integrierbar wird $$\tag{5} 2\int d^3x ~ |\phi^*(x)\psi(x)|~\stackrel{(1,4)}{\leq}~ ||\phi||^2_2+||\psi||^2_2~<~\infty,$$ weil wir das fordern$\phi$und$\psi$sind quadratintegrierbar , dh das$\phi,\psi\in L^2(\mathbb{R}^3)$. Beachten Sie insbesondere, dass Gl. (3) nicht allgemein für gilt$\phi,\psi\in L^p(\mathbb{R}^3)$mit$p \neq 2$.

3. Um sicherzustellen, dass der normierte Vektorraum$H$ist vollständig . Siehe auch diese Phys.SE-Antwort. [Das funktioniert eigentlich für jeden$L^p$-Platz$L^p(\mathbb{R}^3)$mit$p\geq 1$.]

4. Damit zB das Set$C^{\infty}_c(\mathbb{R}^3)$unendlich oft differenzierbarer Funktionen mit kompaktem Träger sind im Raum enthalten$H$. [Das funktioniert eigentlich für jeden$L^p$-Platz$L^p(\mathbb{R}^3)$mit$p\geq 1$.]

5. Beachten Sie, dass alle anderen$L^p$-Leerzeichen $L^p(\mathbb{R}^3)$mit$p\neq 2$sind keine Hilbert-Räume (obwohl sie Banach-Räume sind). Dies hängt damit zusammen, dass das Dual $L^p$-Raum ist$L^p(\mathbb{R}^3)^*\cong L^q(\mathbb{R}^3)$wo$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Daher ein$L^p$-Raum ist nur dann selbstdual, wenn$p=2$. Selbstdualität impliziert, dass es einen Isomorphismus zwischen Kets und BHs gibt.

6. Es ist richtig, dass andere Hilbert-Räume (die dem Positionsraum nachempfunden sind$\mathbb{R}^3$) existieren, aber sie würden normalerweise auf zusätzliche Strukturen angewiesen sein. (Zum Beispiel könnte man eine andere Integrationsmaßnahme verwenden$d\mu$als das Lebesgue-Maß$d^3x$.)

Abschließend die$L^2$-Platz$H=L^2(\mathbb{R}^3)$ ist die einfachste und natürlichste/kanonischste Wahl.

Die traditionelle Umgebung für die Quantenmechanik ist ein Hilbert-Raum. Ein beobachtbares$X$mit einem kontinuierlichen reellen Spektrum (wie z. B. einer Positions- oder Impulskomponente) hat eine Darstellung, in der es diagonal ist, und nach einer Version des Spektralsatzes ist der Hilbert-Raum automatisch isomorph zum Raum von$L^2$Funktionen$\psi(x,s)$(wo$s$bezeichnet Quantenzahlen von Observablen unabhängig von$X$aber pendeln damit) so dass$X$wird als Multiplikation mit dargestellt$x$.

Und so kam es dass der$L^2$Struktur wird der Quantenmechanik nicht willkürlich auferlegt, sondern ist mathematisch aus der Existenz von Observablen mit einem kontinuierlichen reellen Spektrum ableitbar.

1925, in den frühen Tagen der QM, entwickelte Heisenberg einen Raum von Vektoren mit unendlich vielen Komponenten, während Schrödinger einen Raum von Wellenfunktionen entwickelte. 1932 zeigte von Neumann (der den Spektralsatz bewies), dass die beiden Formen der QM (Matrixmechanik und Wellenmechanik) nur der Fall waren, um (in der verwendeten Darstellung) Observablen mit diskretem Spektrum (Energie und Drehimpuls einer Grenze) zu unterscheiden Teilchen) oder Observablen mit kontinuierlichem Spektrum (Ort oder Impuls eines gebundenen Teilchens).

Es gibt keinen wirklichen Unterschied zwischen diesen Darstellungen; nur die Sammlung von Operatoren diagonal in der Darstellung ist anders. Daher liefern sie völlig gleichwertige Ergebnisse, aber es hängt von dem Problem ab, welche Formulierung einen leichteren Zugang zu Berechnungen ermöglicht. Der Ansatz von Schrödinger wird normalerweise in der gewöhnlichen Quantenmechanik bevorzugt, während der von Heisenberg hauptsächlich in der Quantenfeldtheorie verwendet wird (da der Ansatz des harmonischen Oszillators leichter auf Quantenfelder verallgemeinert werden kann).

Lassen Sie mich zunächst betonen, dass Orts- und Impuls-Eigenzustände nicht dazugehören$L^2$. Darüber hinaus hat der kanonische Zustand für ein LPS keine Hilbert-Raumnorm.

Die grundlegende Antwort auf Ihre Frage ist in der zugrunde liegenden Phasenraumstruktur codiert. In der Phasenraumformulierung der Quantenmechanik ist der Zustand eines Systems durch eine Funktion gegeben$F(p,q;t)$von denen nur eine Normalisierung erforderlich ist; es wird nichts über das Integral seines Quadrats (oder irgendein anderes richtig definiertes Skalarprodukt mit sich selbst) gesagt. Die Normalisierung kann physikalisch (Wahrscheinlichkeiten) oder mathematisch unter Verwendung der Einheitselementbeziehung verstanden werden$\langle 1 \rangle = 1$.

Mittelwerte dynamischer Größen werden als Produkt dynamischer Phasenraumfunktionen erhalten$b(p,q;t)$und Staaten$F(p,q;t)$. Dies in einer Art Banach-Raum mit dynamischen Funktionen, die die Rolle von „BHs“ spielen und die Rolle von „Kets“ angeben. Tatsächlich kann der Phasenraummittelwert umgeschrieben werden als$\langle \langle b(p,q;t) | F(p,q;t) \rangle \rangle$.

Der Hilbertraum und die$L^2$Struktur kann aus dem zugrunde liegenden Phasenraum abgeleitet werden, indem eine Zerlegung des Zustands eingeführt wird$F(p,q;t)$in komplexwertigen Amplituden$\Psi(q;t)$.

Beachten Sie, dass die Phasenstruktur allgemeiner ist als Hilbert und$L^2$Räume und erklären gemischte Quantenzustände, die von keinem beschrieben werden$\Psi(q;t)$.