Verwirrung mit grundlegenden Bremseigenschaften

Gegeben sei ein Teilchen, dessen Position irgendwo auf der sein kann$x$-Achse können wir Folgendes schreiben:

und so können wir das Erweiterungspostulat schreiben als:

Daraus machen wir die Assoziation:

Das verstehe ich gut. In unseren Notizen verwirren mich jedoch die nächsten paar Zeilen etwas. Sie gehen wie folgt vor:

Indem man das Skalarprodukt von nimmt$|\psi\rangle$&$|x\rangle$wir bekommen:

Und so sehen wir, dass die integrale Form der Auflösung der Identität ist:

Das Obige ist eine wortwörtliche Transkription unserer Notizen. Die Art und Weise, wie ich darüber nachdenke, ist, dass die Eigenvektoren$|x'\rangle$stellen im Wesentlichen Deltafunktionen an dem Punkt dar$x'$, und so$\psi (x')$wie oben geschrieben steht, sagt uns den Wert von$\psi (x)$BEI$x'$.

Ich verstehe jedoch den Teil nicht, in dem wir das innere Produkt nehmen$\langle x|\psi \rangle$. Ich sehe die Motivation, die meiner Meinung nach darin besteht, einen Ausdruck zu erhalten, als den wir uns identifizieren können$\psi (x)$, aber ich verstehe nicht, wie wir vom Integral zur Auflösung des Identitätsausdrucks kommen. Wie wurden die BHs und Kets auf diese Weise manipuliert? Liegt es daran, dass$\langle x|$&$| \psi\rangle$haben keine explizite Abhängigkeit von$x'$?

Jede Hilfe wird sehr geschätzt - ich verstehe, dass dies eine grundlegende Frage ist, also entschuldige ich mich, wenn es zu Tode getan wurde!