Quantenfeldtheorie: Zahlenoperator N^=a†aN^=a†a\hat{N} = a^\dagger a und bra-ket-Notation

Mein Lehrbuch, Quantum Field Theory and the Standard Model von Schwartz, sagt folgendes:

Der einfachste Weg, einen harmonischen Quantenoszillator zu untersuchen, ist mit Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, A † Und A . Diese befriedigen

[ A , A † ] = 1.
Es gibt auch den Zahlenoperator N ^ = A † A , die Modi zählt:
N ^ ∣ N ⟩ = N ∣ N ⟩ .

Ich habe gerade erst angefangen, die Bra-Ket-Notation zu lernen, aber so wie ich es verstehe, N ^ ∣ N ⟩ wendet nur den Operator an N ^ Zu N ? Aber wie kommt es dazu N ^ ∣ N ⟩ = N ∣ N ⟩ ?

Ich würde es begrüßen, wenn sich die Leute bitte die Zeit nehmen könnten, dies zu klären.

Wenn Sie gerade erst begonnen haben, die Bra-Ket-Notation zu lernen, ist ein QFT-Buch vielleicht nicht die beste Quelle dafür.
Vielleicht können Sie zuerst versuchen, die Ladder-Operator-Methode der Quantum-Oszillator-Harmonischen zu lesen, es ist eine gute Möglichkeit, sich mit den Bra-Ket-Notationen und den Operatoren "Erzeugung" und "Vernichtung" vertraut zu machen.
@rnels12 Die Wikipedia-Seite dafür war eine große Hilfe! Danke! de.wikipedia.org/wiki/…

Antworten (3)

| N ⟩ ist ein Eigenzustand des Zahlenoperators N ^ mit dem Eigenwert N . Da es sich um einen Eigenzustand handelt, ändert das Anwenden des Operators auf den Zustand den Zustand nicht, sodass das Ergebnis proportional zu ist | N ⟩ . Die Proportionalitätskonstante ist genau der Eigenwert N , somit N ^ | N ⟩ = N | N ⟩ .

Unter Verwendung der Terminologie von Weyl (1930, "The Theory of Groups and Quantum Mechanics") die Interpretation einer Formgleichung L ^ | A ⟩ = | B ⟩ ist das der "lineare Operator" L ^ ist eine "lineare Entsprechung", die den Vektor abbildet | A ⟩ zu einem anderen Vektor | B ⟩ im selben Vektorraum.

In der Quantentheorie wird der Zustand eines Systems durch einen Strahl in einem Vektorraum (Hilbert-Raum) dargestellt, und zwei parallele Strahlen unterschiedlicher Länge stellen denselben Zustand dar (nur damit die Wahrscheinlichkeitsinterpretation funktioniert, müssen wir die Zustandsvektoren normalisieren ). Wenden wir uns nun Ihrer Eigenwertgleichung zu N ^ | N ⟩ = N | N ⟩ , Hier | N ⟩ ist ein solcher Zustandsvektor, dh ein normierter "Strahl" im Hilbert-Raum, und der Operator N ^ bildet dies auf einen parallelen Strahl ab, dessen Länge um den (realen) Faktor verändert wird N . Das bedeutet nicht N ^ hat den Zustand geändert.

Der Erstellungs- und Vernichtungsoperator funktionieren wie folgt, wenn er auf den Zustand angewendet wird | N ⟩ :

A ^ † | N ⟩ = N + 1 | N + 1 ⟩
A ^ | N ⟩ = N | N − 1 ⟩

Also bei der Bewerbung N ^ = A ^ † A ^ du erhältst:

A ^ † A ^ | N ⟩ = A ^ † N | N − 1 ⟩ = N A ^ † | N − 1 ⟩ = N N | N ⟩ = N | N ⟩

Quantenfeldtheorie: Zahlenoperator N^=a†aN^=a†a\hat{N} = a^\dagger a und bra-ket-Notation
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