Kommutiert oder antikommutiert der Zeitinversionsoperator mit der Gesamtzeitableitung?

Ich frage mich, ob der Zeitumkehroperator T kommutiert oder antikommutiert mit dem Zeitableitungsoperator. Einerseits denke ich, dass sie pendeln, weil

T D D T F ( T ) = T lim Δ → 0 F ( T + Δ ) − F ( T ) Δ = Ich hoffe lim Δ → 0 T F ( T + Δ ) − F ( T ) Δ = lim Δ → 0 F ∗ ( T + Δ ) − F ∗ ( T ) Δ ∗ = T ∈ R lim Δ → 0 F ∗ ( T + Δ ) − F ∗ ( T ) Δ = D D T T F ( T )
für jede Funktion F ( T ) .

Andererseits für jede gültige Wellenfunktion F ( X , T ) die Schrödinger-Gleichung

ich ℏ D D T F ( X , T ) = H F ( X , T )
hält, was bedeutet, dass ich ersetzen kann H mit ich ℏ D D T beim Einwirken auf eine gültige Wellenfunktion. Wenn wir jetzt ein System haben, das Zeitumkehrinvarianz hat, wissen wir, dass der Hamiltonoperator H pendelt mit dem Zeitumkehroperator, was bedeutet, dass
ich ℏ D D T T = H T = T H = T ich ℏ D D T = − ich ℏ T D D T
was bedeutet, dass T Und D D T Antipendler.

Was mache ich falsch? Wie lautet die (Anti-)Kommutationsregel für den Zeitumkehroperator und die Zeitableitung?

Gute Frage (+1), aber es scheint mir, dass es ein Duplikat des Zeitumkehreffekts auf die Zeitableitung in der Quantenmechanik ist , meinst du nicht?

Antworten (1)

Deine erste Gleichung ist falsch. Definieren G = T F . Anwendung der grundlegenden Differenzierungsregel ( u ∘ v ) ' ( T ) = u ' ( v ( T ) ) v ' ( T ) für zusammengesetzte Funktionen zu G ( T ) = F ∗ ( − T ) , wir haben

( T F ) ' ( T ) = G ' ( T ) = Regel − ( F ∗ ) ' ( − T ) = − ( F ' ) ∗ ( − T ) = − ( T ( F ' ) ) ( T )
für alle T , somit ( T F ) ' = − T ( F ' ) .

Danke für Ihren Vorschlag. Aber wenn Sie definieren G := T F Dann G ( T ) = F ∗ ( T ) und nicht F ( − T ) .
Ändert sich nicht die Zeitumkehrung? T In − T ? Siehe zum Beispiel T-Symmetrie .
Nein. Der Operator, der in der Literatur "Zeitinversionsoperator" genannt wird, ist nur ein antiunitärer Operator, unter dem räumliche Eigenzustände invariant sind, dh T | X ⟩ = | X ⟩ . Wenn F ( X , T ) ist dann eine Wellenfunktion T F ( X , T ) = F ∗ ( X , T ) . Die Umkehrung des zeitlichen Arguments ist notwendig, um eine "physikalische" Wellenfunktion zu erhalten, aber es ist nicht die Aufgabe des Zeitumkehroperators.
Bist du dir sicher mit dem Zeichen von T ? Diese Referenz sagt T F ( X , T ) = F ∗ ( X , − T ) . Ich dachte an echt F in meiner Antwort, aber das Ergebnis bleibt für nicht real dasselbe F .
@psicolor Ich habe meiner Antwort den konjugierten Fall hinzugefügt, um ihn für alle komplexwertigen Funktionen korrekt zu machen. Wie Sie sehen können, bleibt die Schlussfolgerung dieselbe: ( T F ) ' = − T ( F ' ) .
Sie interpretieren die Referenz falsch, aber ich muss zugeben, dass dies der häufigste Fall ist. Die Bezeichnung als „Zeitinversionsoperator“ ist irreführend, ein handlicherer Name wäre „Impulsinversionsoperator“, aber aus historischen Gründen verwendet jeder den ersten. Die Referenz sagt, dass die Symmetrieoperation, die die Zeit umkehrt, abbildet F ( X , T ) Zu F ∗ ( X , − T ) . Das ist richtig, aber nicht das, was der Zeitinversionsoperator (der besser als "Impulsinversionsoperator" bezeichnet werden sollte) tut.
Ich verstehe nicht, wie das, was Sie sagen, mit der zuvor erwähnten T-Symmetrie -Referenz zusammenhängt, die besagt: "In der theoretischen Physik ist die T-Symmetrie die theoretische Symmetrie physikalischer Gesetze unter einer Zeitumkehrtransformation: T : T ↦ − T ". Vielleicht könnten Sie auf eine Referenz verweisen, die das ausdrücklich erwähnt T ↦ T unter Zeitumkehr (oder Zeitinversion)?
Sie haben Recht, dass die Zeitumkehrung abbildet T → − T , aber der Operator, der "Zeitinversionsoperator" oder "Zeitumkehroperator" genannt wird, nicht! Wenn ψ ( X , T ) eine gültige Wellenfunktion ist, dann ist die zeitumgekehrte Wellenfunktion T ψ ( X , − T ) = ψ ∗ ( X , − T ) . Die von Ihnen erwähnte Referenz erklärt das. Lesen Sie es noch einmal, aber denken Sie daran, dass die tatsächliche Umkehrung des zeitlichen Arguments nicht das ist, was der "Zeitumkehroperator" tut. Der Zeitumkehroperator invertiert nur Geschwindigkeiten, mehr nicht. Um einen sinnvollen Film zu erhalten, müssen Sie zusätzlich die invertieren T Streit.
Wie kommt es dann zu der Diskrepanz Ihrer Frage? Außerdem finde ich es seltsam, dass wenn die einzige Aktion von T ist, das Konjugierte zu nehmen (das ist alles, was es in Ihrer Frage tut), kein bestimmter Operator erforderlich, verwenden Sie einfach die konjugierte Funktion. Übrigens, ich sehe nicht, was Sie in der von mir angegebenen Referenz erwähnen, wo ist es?
Kommutiert oder antikommutiert der Zeitinversionsoperator mit der Gesamtzeitableitung?
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