Wie transformiert ein Operator unter Zeitumkehr?

Wir wissen, dass ein Zeitumkehroperator T darstellen kann als

T = U K
Wo U ist ein unitärer Operator und K ist der komplexe Konjugationsoperator.

Dann unter Zeitumkehrbetrieb ein Quantenzustand | ψ ⟩ wird sich wie folgt umwandeln:

| ψ R ⟩ = T | ψ ⟩ = U K | ψ ⟩ = U | ψ ∗ ⟩
Wenn wir eine Zeitumkehrsymmetrie für das System benötigen, dann müssen wir sie haben
⟨ ψ R | Ö R | ϕ R ⟩ = ⟨ ψ | Ö | ϕ ⟩
Wo | ψ ⟩ Und | ϕ ⟩ sind einige willkürliche Quantenzustände und Ö ist irgendein Operator. Aus der obigen Gleichung hätten wir
⟨ ψ ∗ | U † Ö R U | ϕ ∗ ⟩ = ⟨ ψ | Ö | ϕ ⟩
Wie erhalten wir also basierend auf dieser Gleichung das Ergebnis (das in dem Buch "Random Matrices" von Mehta angegeben ist).
Ö R = U Ö T U †
Wo Ö T bedeutet die Transponierung von Ö .

Meine zweite Frage lautet: Was ist, wenn wir KEINE Zeitumkehrsymmetrie annehmen?

Ich lese Ihre Frage, aber ich habe Zweifel. Die Zeitumkehr ist nicht nur komplex konjugiert, sondern muss auch die Elemente transponieren, auf die sie einwirkt (Vektoren, Matrizen).
Außerdem erzeugen \langle und \rangle als Referenz gut aussehende Klammern, ⟨ φ | ψ ⟩ anstatt < φ | ψ > , wenn dir so etwas wichtig ist.
@Sofia Ich glaube auch nicht, dass der Zeitumkehroperator den Operanden transponieren muss

Antworten (2)

Die Zeitumkehr ist nicht nur komplex konjugiert, sondern transponiert auch die Elemente, auf die sie wirkt (Vektoren, Matrizen).

T ⟨ ϕ | Ö ^ | ψ ⟩ = ⟨ ψ T | Ö ^ | T ϕ ⟩ .

Beachten Sie den Ortswechsel der Funktionen im rechten Flügel in Bezug auf den linken Flügel. Außerdem nutzte ich die Tatsache, dass Ö ^ bleibt bei Zeitumkehr unverändert.

Nun nehmen wir folgende Änderung vor, die unter dem Integral erlaubt ist, wenn die beiden Funktionen im Unendlichen verschwinden:

⟨ U K ψ | Ö ^ | U K ϕ ⟩ = ⟨ ϕ | U Ö ^ U † | ψ ⟩ .

Also haben wir die Zeitumkehrung von Ö ^ .

Ich glaube nicht, dass wir davon ausgehen können, dass der Operator bei Zeitumkehr unverändert bleibt
@Timo: Sie können denken oder nicht, aber dies ist die Annahme im Text der Frage, siehe die 3. Gleichung.
Es tut mir leid, aber Ihre Argumentation erscheint widersprüchlich. Wir sollten herausfinden, wie sich der Operator unter Zeitumkehrung transformiert, aber das haben Sie angenommen Ö bleibt bei Zeitumkehr unverändert. Meine Annahme ist, dass das Skalarprodukt anstelle des Operators invariant ist.
@Timo: Wenn wir die Zeit umkehren, sehen wir, dass die Partikel ihre Bewegung umkehren. Man geht vom Endzustand aus (wir führen die Änderung ⟨ϕ|† ein), wir wenden darauf Ô† an, und wie die Übung andeutet, soll der erhaltene Vektor nun auf den Anfangszustand projiziert werden (der also als |ψ erscheinen sollte ⟩†. (Ich bin mir nicht sicher, was der Anfangs- und der Endzustand sind, aber wenn ich der LHS der 3. Gleichheit vertraue, dh dass er die Transponierte des Produkts der Komponenten genommen hat, scheint es, dass |ψ⟩ der Anfangszustand ist. Aber lassen Sie mich etwas später auf Sie zurückkommen.
@Timo: Bitte sehen Sie, warum ich dachte, dass Ô ein symmetrischer Operator ist. Vor der 3. Gleichheit in der Frage steht geschrieben "wenn wir Zeitumkehrsymmetrie benötigen, ..."
Tatsächlich ist es in meiner Ableitung problematisch, den Stern als Ergebnis der Wirkung des Konjugationsoperators in das Ket zu setzen. Sie können sich für eine sehr gute Erklärung auf die moderne Quantenmechanik von JJ Sakurai beziehen. Die Frage bleibt jedoch bestehen, da das Ergebnis in Mehta offensichtlich anders ist als das in Sakurai.

Ein Problem mit Ihrer Formel, dass T faktorisiert als Produkt eines unitären Operators U und komplexe Konjugation K ist, dass 'komplexe Konjugation' in einem Hilbert-Raum a priori bedeutungslos ist .

Lassen Sie mich diesbezüglich formeller sein; Betrachten Sie einen Vektor ψ ∈ H , mit H A N -dimensionaler Hilbertraum, also isomorph zu C N . Wie ist ein (abstrakter) Vektorraum isomorph zum kanonischen Hilbertraum C N ? Auf folgende Weise: Wählen Sie eine Basis aus { e ich } ich = 1 , . . . , N von H . Dann zerlegen ψ auf dieser Grundlage:

ψ = ∑ ich ψ ich e ich   .

Endlich Karte ψ auf der N -Tupel ( ψ 1 , . . . , ψ N ) .

Wie Sie sehen können, bezeichnen wir diesen Isomorphismus mit E , hängt sehr stark von der gewählten Basis ab.

Ignorieren wir das trotzdem. An C N wir können komplexe Konjugation definieren K , es ist einfach die Karte

K ( ψ 1 , . . . , ψ N ) = ( ψ 1 ¯ , . . . , ψ N ¯ )   .

Daher können wir eine komplexe Konjugation definieren K E An H einfach vorbei

K E = E − 1 ∘ K ∘ E   .

Sehen wir uns nun an, was passiert, wenn wir eine Basis ändern; eine andere Grundlage betrachten E ' = { e ich ' } ich = 1 , . . . , N mit e ich = ∑ J M ich J e J ' . Dann überlegen M ich J als die Matrix einer Operation auf C N :

K E = E − 1 ∘ K ∘ E = E ' − 1 ∘ M − 1 ∘ K ∘ M ∘ E ' = E ' − 1 ∘ M ¯ M − 1 K ∘ E '   ,

dh es sei denn M ¯ = M , K E ≠ K E ' . Daher gibt es keinen invarianten Begriff der komplexen Konjugation in einem komplexen Hilbert-Raum.

Die Aussage ist wahr, wenn wir eine Basis festlegen E , können wir komplexe Konjugation mit jeder anderen Basis als schreiben

K E ' = U E , E ' K E   ,

Wo U E , E ' ist eine Einheit. Beachten Sie, dass die komplexe Konjugation von abhängt E nur über die Äquivalenzklasse [ E ] der Basis verbunden E durch echte Verwandlungen.

In dieser Sprache könnte man sagen, dass eine Zeitumkehroperation eine Wahl der bevorzugten Äquivalenzklasse der Basis ist. Das heißt zumindest, wenn T 2 = 1 . Wenn T 2 = − 1 , sollten wir abbilden H zu einem H N / 2 , Wo H sind die Quaternionen.

Damit haben Sie ein Rezept zur Berechnung des zeitumgekehrten Operators, z T 2 = 1 : einfach darstellen Ö in einer reellen Basis (einer Basisinvariante unter T ), dann nehmen Sie das komplexe Konjugat dieser Matrix.

Beachten Sie, dass keine dieser Manipulationen von abhängen T eine Symmetrie sein.

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