Hilfe bei Cutkosky-Schnittregeln für Fermionen

Es ist richtig, dass Sie nur die Nenner ersetzen$1/(p^2-m^2+i\epsilon)$von$-2\pi i \delta(p^2-m^2)$in den Propagatoren, um die Diskontinuitäten zu berechnen. Die fermionischen Propagatoren müssen zunächst so umgeschrieben werden, dass sie den gerade erwähnten Nenner enthalten. Sie haben Recht, dass der Zähler in den Cutkosky-Regeln nicht betroffen ist.

Formal könnte man die Diskontinuität der fermionischen Propagatoren auch schreiben als$2\pi i \delta(p_\mu \gamma^\mu -m)$aber wann immer es eine Verwirrung gibt, bedeutet es nur dasselbe, was durch das Verfahren im vorherigen Absatz angezeigt wird.

Tatsächlich haben die fermionischen Propagatoren nur einen "einfachen Pol" in der Nähe der Massenschale: Das hängt damit zusammen, dass die Propagatoren die "inversen Differentialoperatoren" sind und die Gleichungen für Fermionen eher erster Ordnung als zweiter Ordnung sind, wie sie es sind für Bosonen. Dieser unterschiedliche "Divergenzgrad" in der Nähe der Massenhülle wird durch die Cutkosky-Regeln widergespiegelt.

Um jedoch sicherzugehen und ein mögliches Missverständnis zu vermeiden, das möglicherweise implizit in Ihrer Frage enthalten ist, "vernichten" die Zähler die Delta-Funktion nicht wirklich. Die Funktion$x\,\delta(x)$verschwindet, weil$x=0$an der einzigen Stelle, an der die Delta-Funktion einen Support hat:$f(x)\delta(x) = f(0)\delta(x)$. Jedoch,$x\,\delta(x)$ist nicht das, was wir in den fermionischen Schnittregeln sehen.

Anstatt$x$, der Zähler ist ist$p_\mu \gamma^\mu - m$oder etwas ähnliches. Dieser Zähler "verschwindet formal", wenn er auf eine Lösung der Dirac-Gleichung einwirkt. In den Schnittregeln berechnen Sie jedoch die gesamte Matrix und nicht nur ihre Wirkung auf einen bestimmten Spinor. Und die Matrix verschwindet auf der Masseschale nicht: Nur zwei ihrer vier Eigenwerte werden in der Kombination auf Null gesetzt. Sie erhalten also immer noch ein Ergebnis ungleich Null.