Definieren von quantenwirksamer/richtiger Wirkung (Legendre-Transformation), Existenz von Umkehrung (Feldquelle)?

1. Wenn wir das erzeugende Funktional behandeln$W_c[J]$für zusammenhängende Diagramme als formale Potenzreihe in den Quellen$J_i$, und wenn der verbundene Propagator$^1$

   $$\begin{align} \langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle^c_J~=~& \frac{\hbar}{i}\frac{\delta^2 W_c[J]}{\delta J_k\delta J_{\ell} }\cr ~=~&\langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle_J-\langle \phi^k \rangle_J \langle \phi^{\ell} \rangle_J\end{align} \tag{1}$$ ist invertierbar bei$J=0$, dann die effektive/richtige Aktion $$\Gamma[\phi_{\rm cl}]~=~W_c[J]-J_k \phi^k_{\rm cl} \tag{2}$$ existiert als formale Potenzreihe in der transformierten Legendre - Variablen$\phi_{\rm cl}$. Insbesondere die Umkehrung der formalen Potenzreihe $$\phi^k_{\rm cl}~=~\frac{\delta W_c[J]}{\delta J_k} ~=~ \langle \phi^k \rangle_J\tag{3}$$ folgt dann aus einer multivariablen Verallgemeinerung des Lagrange-Inversionssatzes .

2. Konkret zu den niedrigsten Aufträgen, wenn wir expandieren

   $$\begin{align} W_c[J]~=~&W_{c,0} ~+~J_k W_{c,1}^k ~+~\frac{1}{2}J_k W_{c,2}^{k\ell}J_{\ell}\cr ~+~&\frac{1}{6} W_{c,3}^{k\ell m}J_k J_{\ell} J_m ~+~{\cal O}(J^4), \end{align}\tag{4}$$ wir rechnen $$\begin{align} \Delta\phi^k_{\rm cl} ~:=~& \phi^k_{\rm cl}~-~ W_{c,1}^k\cr ~\stackrel{(3)+(4)}{=}&~W_{c,2}^{k\ell}J_{\ell}~+~\frac{1}{2} W_{c,3}^{k\ell m} J_{\ell} J_m ~+~{\cal O}(J^3),\end{align} \tag{5}$$ so dass $$\begin{align} J_k~\stackrel{(5)}{=}~&(W^{-1}_{c,2})_{k\ell}\left(\Delta\phi^{\ell}_{\rm cl}~-~\frac{1}{2}\Delta\phi^p_{\rm cl} (W^{-1}_{c,2})_{pm} W_{c,3}^{m\ell n}(W^{-1}_{c,2})_{nq}\Delta\phi^q_{\rm cl} \right)\cr ~+~&{\cal O}(\Delta\phi^3_{\rm cl}).\end{align}\tag{6}$$ Perturbativ wird die Legendre-Transformation $$\begin{align} \Gamma[\phi_{\rm cl}]~\stackrel{(2)+(4)+(6)}{=}& W_{c,0} ~-~\frac{1}{2}\Delta\phi^k_{\rm cl} (W^{-1}_{c,2})_{k\ell}\Delta\phi^{\ell}_{\rm cl}\cr ~+~&\frac{1}{6} W_{c,3}^{k\ell m}(W^{-1}_{c,2})_{kp}(W^{-1}_{c,2})_{\ell q}(W^{-1}_{c,2})_{mr}\Delta\phi^p_{\rm cl}\Delta\phi^q_{\rm cl}\Delta\phi^r_{\rm cl} \cr ~+~&{\cal O}(\Delta\phi^4_{\rm cl}),\end{align}\tag{7}$$ und so weiter.

3. In ähnlicher Weise wird störungsbedingt die inverse Legendre-Transformation

   $$\begin{align} W_c[J]~\stackrel{(2)+(9)}{=}& \Gamma_0 ~-~\frac{1}{2}\Delta J_k (\Gamma^{-1}_2)^{k\ell}\Delta J_{\ell}\cr ~-~&\frac{1}{6} \Gamma_{3,k\ell m}(\Gamma^{-1}_2)^{kp}(\Gamma^{-1}_2)^{\ell q}(\Gamma^{-1}_2)^{mr}\Delta J_p\Delta J_q\Delta J_r\cr ~+~&{\cal O}(\Delta J^4),\end{align}\tag{8}$$ und so weiter, wo $$\Delta J_k~:=~ J_k~+~ \Gamma_{1,k}.\tag{9}$$

4. An dieser Stelle scheint es natürlich, mit dem folgenden nützlichen Satz zu enden.

   Vorschlag. Wenn$^2$

   $$\langle \phi^k \rangle_{J=0}~=~0,\tag{10}$$

   oder gleichwertig, wenn

   $$W^k_{c,1}~=~0,\tag{11}$$

   dann:

   • Die vollständige 2-Punkt-Funktion entspricht der vollständig verbundenen 2-Punkt-Funktion:

     $$\langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle_{J=0}~=~\langle \phi^k\phi^{\ell} \rangle^c_{J=0}~=~\frac{\hbar}{i}G_c^{k\ell},\tag{12}$$ vgl. Gl. (1).

   • $$\Gamma_{1,k}~=~0,\tag{13}$$ vgl. Gl. (7).

   • $$-(\Gamma_2^{-1})^{k\ell}~=~(W_{c,2})^{k\ell}~=~G_c^{k\ell}\tag{14}$$ ist der vollständig verbundene Propagator, vgl. Gl. (8).

   • Es gibt keine Kaulquappen$^3$in dem Sinne, dass wenn ein einzelner Schnitt ein verbundenes Diagramm in 2 Teile schneidet, dann beide Teile enthalten$J$-Quellen, vgl. zB Srednicki, QFT , Kapitel 9, p. 67. Dies folgt aus der Tatsache, dass (eine Summe aller möglichen) zusammenhängenden Diagramme (eine Summe aller möglichen) Bäume voller Propagatoren und (amputierter) 1PI-Knoten sind, vgl. dieser Phys.SE-Beitrag.

   • Insbesondere die angeschlossenen Vakuumdiagramme$W_{c,0}=\Gamma_0$sind alles 1PI-Diagramme, vgl. Gl. (8).

   • Insbesondere die Eigenenergie

     $$\Sigma~=~G_0^{-1}-G_c^{-1},\tag{15}$$ [der im Allgemeinen aus verbundenen Diagrammen mit 2 amputierten Beinen besteht, so dass die 2 Beine nicht durch Schneiden einer einzigen internen Linie getrennt werden können] besteht jetzt nur noch aus 1PI-Diagrammen.

   • Die effektive Aktion nach Wilson $W_{c,\rm int}[J\!=\!0,\phi_L]$besteht$^4$von nur 1PI-Aktionsbedingungen.

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$^1$Wir verwenden die komprimierte DeWitt-Notation , um die Notation nicht zu überladen. Siehe auch zB diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

$^2$Dies ist eine standardmäßige Renormierungsbedingung. Aufgrund der Impulserhaltung gilt

$$\langle \widetilde{\phi}(k) \rangle_{J=0}~=~\widetilde{W}_{c,1}(k)~~\propto~~\delta^4(k) \tag{16}$$ ist automatisch erfüllt.

$^3$Beachten Sie, dass der obige Begriff von Kaulquappendiagrammen nicht dasselbe ist wie Selbstschleifendiagramme, vgl. Wikipedia .

$^4$Die Renormierungsbedingung (11) lautet in dieser Situation

$$0~=~\langle \phi^k_H \rangle_{J=0,\phi_L}~=~\left. \frac{\delta W_c[J,\phi_L]}{\delta J_k}\right|_{J=0}.\tag{17}$$ Die Renormierungsbedingung (17) sollte für alle Werte des Hintergrundfeldes erfüllt sein$\phi_L$. Beachten Sie, dass$\phi_H$-Kaulquappen-Begriffe$\phi_L\ldots\phi_L\phi_H$werden in der effektiven Aktion nach Wilson kinematisch unterdrückt. Die Renormierungsbedingung (17) stimmt mit dem Renormierungsgruppenfluss überein. Dies ist auf die exakte Polchinski-Renormierungsgruppenströmungsgleichung (ERGE) zurückzuführen. $$\frac{d W^k_{1,c}}{d\Lambda}~\propto~\ldots \underbrace{\frac{\delta W^k_{1,c}}{\delta\phi_L}}_{=0} +\ldots \underbrace{\frac{\delta^2 W^k_{1,c}}{\delta\phi_L^2}}_{=0}~=~0,\tag{18}$$ vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier .

Dies ist eine interessante Frage, und obwohl ich keine genaue Antwort weiß, können wir einige typische Fälle diskutieren.

Normalerweise existiert die Umkehrung, aber die Fälle, in denen diese Umkehrung nicht existiert, sind nicht unbedingt pathologisch (Soundmodelle können das Problem haben, dass die Umkehrung nicht existiert).

Für Standard-Feldtheorien (z. B.$\phi^4$, O(N)-Modelle, klassische Spin-Modelle, ...), im Allgemeinen existiert die Umkehrung, und dies kann Reihenfolge für Reihenfolge in einer Schleifenerweiterung gezeigt werden (ich weiß nicht, ob dies in jeder Reihenfolge bewiesen wurde, aber in Standardlehrbüchern wird dies bei Bestellung 1 oder 2 gezeigt). Die Umkehrung wird jedoch nicht notwendigerweise für alle existieren$\phi_{cl}$, besonders in gebrochenen Symmetriephasen. In der Tat ist eine geordnete Phase gekennzeichnet durch

$$\bar\phi_{cl}=\lim_{J\to 0 } \phi_{cl}[J]=\lim_{J\to 0 }W'[J]\neq 0 ,$$ wo $\bar \phi_{cl}$ist der Gleichgewichtswert des Ordnungsparameters. Daher können Sie die Beziehung nicht umkehren $\phi_{cl}[J]$zum $\phi_{cl}\in [0,\bar \phi_{cl}]$( $\phi_{cl}[J]$erhöht sich im Allgemeinen, wenn $J$steigt).

Außerdem gibt es Fälle, in denen die Inverse einfach nicht definiert ist, weil$\phi_{cl}[J]={\rm const}$für alle$J$. Dies ist in der Regel dann der Fall, wenn das Feld ohne Quelle keine eigenständige Dynamik aufweist. Wenn Sie zum Beispiel einen einzelnen Quantenspin bei Nulltemperatur nehmen, ist die einzige Dynamik durch ein externes Magnetfeld gegeben (hier in der$z$Richtung)

$$\hat H= -h.\sigma_z.$$ Mit $h>0$, der Grundzustand ist immer $|+\rangle$, und das "klassische Feld" $\phi_{cl}(h)=\langle \sigma_z\rangle=1/2$für alle $h$, und die freie Gibbs-Energie (die Legendre-Transformation der freien Energie in Bezug auf $h$, die im Wesentlichen die wirksame Maßnahme ist) nicht besteht.