Prinzip der kleinsten Wirkung: dScldtb=∂Scl∂tb+∂Scl∂xbx˙bdScldtb=∂Scl∂tb+∂Scl∂xbx˙b\frac{d S_{cl}}{dt_b} = \frac{\partial S_{cl} }{\partial t_b} + \frac{\partial S_{cl}}{\partial x_b}\dot{x}_b

Question

Prinzip der kleinsten Wirkung: dScldtb=∂Scl∂tb+∂Scl∂xbx˙bdScldtb=∂Scl∂tb+∂Scl∂xbx˙b\frac{d S_{cl}}{dt_b} = \frac{\partial S_{cl} }{\partial t_b} + \frac{\partial S_{cl}}{\partial x_b}\dot{x}_b

Aktion
Physik
Wegintegral
klassische Mechanik
lagrangescher Formalismus
Variationsprinzip

Alexander McFarlane

Frage

Ich kann nicht sehen, wie ich den gelb markierten Abschnitt auf der rechten Seite von dem der linken Seite erhalten kann.

Die folgende Gleichung findet sich sowohl in meinen Vorlesungsunterlagen(*1) (Seite 9, Gleichung 2.7) als auch als Problem 2-6 in Feynman & Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals , (S. 36),

\begin{matrix} (9) & \frac{D S_{C l}}{D T_{B}} = L (X_{B}, {\dot{X}}_{B}, T_{B}) = \frac{\partial S_{C l}}{\partial T_{B}} + \frac{\partial S_{C l}}{\partial X_{B}} {\dot{X}}_{B} \end{matrix}

$\require{color} \tag{9} \frac{d S_{cl}}{dt_b} = L(x_b,\dot{x}_b,t_b) = \colorbox{yellow}{ $\frac{\partial S_{cl}}{\partial t_b} + \frac{\partial S_{cl}}{\partial x_b}\dot{x}_b$ }$

Unten ist der relevante Abschnitt der Notizen, die verwendet wurden, um den Ausdruck abzuleiten, und auch mein eigener Versuch, den Ausdruck auf die RHS zu bringen.

Versuchen

Verwenden von (8) und Integrieren beider Seiten (nicht ganz sicher, ob ich das tatsächlich kann!),

\begin{matrix} (13) & S_{C l} = P_{B} X_{B} \end{matrix}

$\tag{13} S_{cl} = p_b x_b$

Verwenden Sie also die Produktregel und wieder (8) für $p_b$ im zweiten Semester,

\begin{matrix} (14) & \frac{D S_{C l}}{D T_{B}} = \frac{D P_{B}}{D T_{B}} X_{B} + P_{B} \frac{D X_{B}}{D T_{B}} = \frac{D P_{B}}{D T_{B}} X_{B} + \frac{D S_{C l}}{D X_{B}} \dot{X_{B}} \end{matrix}

$\tag{14} \frac{d S_{cl}}{dt_b} = \frac{d p_b}{d t_b}x_b + P_b\frac{d x_b}{d t_b} = \frac{d p_b}{d t_b}x_b + \frac{d S_{cl}}{d x_b}\dot{x_b}$

Allerdings habe ich jetzt zwei Probleme:

Ich habe richtige Ableitungen auf der RHS, keine partiellen Ableitungen
kann ich nur besorgen $S_{cl}$ im ersten Semester durch Behandlung $x_b$ als unabhängig von $t_b$ und unter Verwendung von (14).

Ableitung

Diese Herleitung wurde direkt aus den oben erwähnten Anmerkungen auf Seite 9 kopiert. Die relevante Gleichung ist (8)

Die Aktion für einen Pfad $x(t)$ ,

\begin{matrix} (1) & S [X (T)] = \int_{T_{A}}^{T_{B}} L (X, \dot{X}, T) D T \end{matrix}

$\tag{1} S[ x ( t ) ] = \int^{t_b}_{t_a} L\left(x,\dot{x},t\right) dt$

Wo $L$ ist die Lagrange-Funktion. Nun, mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung: der klassische Weg $\bar{x}(t)$ ist ein Extremum des funktionalen S,

\begin{matrix} (2) & {\frac{δ S}{δ X} |}_{X = \bar{X}} = 0 \end{matrix}

$\tag{2} \left.\frac{\delta{S}}{\delta{x}} \right|_{x=\bar{x}}= 0$

Wo $\delta{S}/\delta{x}$ ist das funktionelle Derivat. Für eine kleine Variation des Pfades: $x(t) \to x(t) + \delta x(t)$ :

\begin{matrix} (3) & δ S = S [X + δ X] - S [X] = \int_{T_{A}}^{T_{B}} D T L (X + δ X, \dot{X} + δ \dot{X}, T) - L (X, \dot{X}, T) \end{matrix}

$\tag{3} \delta S = S[x + \delta x] − S[x] = \int_{t_a}^{t_b} dt\ L\left(x + \delta{x},\dot{x} + \delta{\dot{x}},t\right) - L\left(x,\dot{x},t\right)$

Verwenden von 2D-Taylor-Expansion um $\delta{x},\delta{\dot{x}}$ wir bekommen

\begin{matrix} (4) & δ S = \int_{T_{A}}^{T_{B}} D T (\frac{\partial L}{\partial X} δ X + \frac{\partial L}{δ \dot{X}} δ \dot{X}) + Ö (δ X^{2}) \end{matrix}

$\tag{4} \delta S = \int_{t_a}^{t_b} dt\ \left( \frac{\partial L}{\partial x}\delta x + \frac{\partial L}{\delta \dot{x}}\delta{\dot{x}} \right) +\mathcal{O}(\delta x^2)$ Jetzt nach Teilen integrieren,

\begin{matrix} (5) & δ S = {[\frac{\partial L}{\partial \dot{X}} δ \dot{X}]}_{T_{A}}^{T_{B}} - \int_{T_{A}}^{T_{B}} D T (\frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial X}) - \frac{\partial L}{δ \dot{X}}) δ X + Ö (δ X^{2}) \end{matrix}

$\tag{5} \delta S = \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\delta{\dot{x}} \right]^{t_b}_{t_a} - \int_{t_a}^{t_b} dt\ \left( \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial x} \right) - \frac{\partial L}{\delta \dot{x}} \right) \delta x +\mathcal{O}(\delta x^2)$

Wenn die Endpunkte des Pfades fixiert sind, dh $\delta x(t_a) = \delta x(t_b) = 0$ , dann erhalten wir die Lagrange-Gleichung für den klassischen Weg,

\begin{matrix} (6) & \frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial X}) - \frac{\partial L}{δ \dot{X}} = 0 \end{matrix}

$\tag{6} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial x} \right) - \frac{\partial L}{\delta \dot{x}} =0$

In Anbetracht des Wertes der Aktion $S$ Auf dem klassischen Weg, $S_{cl} \equiv S[\bar{x}(t)]$ : $S_{cl}$ wird eine Funktion der Endpunkte sein, dh von $x_a, t_a, x_b$ , Und $t_b$ .

Endpunkt variieren $(x_b, t_b)\to (x_b, t_b) + (\delta x_b, \delta t_b)$ , aber behalte $(x_a, t_a)$ Fest. Die Lagrange-Gleichung gilt für den klassischen Weg. Wir wählen $\delta t_b = 0$ und erinnere dich an das kanonische Momentum $p$ konjugieren zu $x$ als $p = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$ zu bekommen,

\begin{matrix} (7) & δ S_{C l} = {[\frac{\partial L}{\partial \dot{X}} δ \dot{X}]}_{T_{A}}^{T_{B}} = {[P δ X]}_{T_{A}}^{T_{B}} = P (T_{B}) δ X_{B} - P (T_{A}) δ X_{A} = P (T_{B}) δ X_{B} \end{matrix}

$\tag{7} \delta S_{cl} = \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\delta{\dot{x}} \right]^{t_b}_{t_a} = \left[ p\delta x \right]^{t_b}_{t_a} = p(t_b)\delta x_b −p(t_a)\delta x_a =p(t_b)\delta x_b$ Somit,

\begin{matrix} (8) & \frac{\partial S_{C l}}{\partial X_{B}} = P_{B} \end{matrix}

$\tag{8} \frac{\partial S_{cl}}{\partial x_b} = p_b$

Jetzt überlegen $\frac{dS_{cl}}{dt}$ . Aus (1) können wir schreiben:

\begin{matrix} (9) & \frac{D S_{C l}}{D T_{B}} = L (X_{B}, {\dot{X}}_{B}, T_{B}) = \frac{\partial S_{C l}}{\partial T_{B}} + \frac{\partial S_{C l}}{\partial X_{B}} {\dot{X}}_{B} \end{matrix}

$\require{color} \tag{9} \frac{d S_{cl}}{dt_b} = L(x_b,\dot{x}_b,t_b) = \colorbox{yellow}{ $\frac{\partial S_{cl}}{\partial t_b} + \frac{\partial S_{cl}}{\partial x_b}\dot{x}_b$ }$

Das gibt,

\begin{matrix} (11) & \frac{\partial S_{C l}}{\partial T_{B}} = L - P_{B} {\dot{X}}_{B} = - E_{B} \end{matrix}

$\tag{11} \frac{\partial S_{cl}}{\partial t_b} = L − p_b\dot{x}_b =−E_b$

\begin{matrix} (12) & E_{B} = - \frac{\partial S_{C l}}{\partial T_{B}} \end{matrix}

$\tag{12} E_b = -\frac{\partial S_{cl}}{\partial t_b}$ Wo

E_{b}

$E_b$ ist die Energiefunktion oder der Hamilton-Operator .

Verweise

(*1) Brian Pendleton, Quantentheorie, The University of Edinburgh, 2015

Antworten (2)

Prinzip der kleinsten Wirkung: dScldtb=∂Scl∂tb+∂Scl∂xbx˙bdScldtb=∂Scl∂tb+∂Scl∂xbx˙b\frac{d S_{cl}}{dt_b} = \frac{\partial S_{cl} }{\partial t_b} + \frac{\partial S_{cl}}{\partial x_b}\dot{x}_b

QMechaniker · Answer 1

Kommentare zur Frage (v3):

Die Grenzdaten $x_b$ , $t_b$ , $x_a$ , $t_a$ sind unabhängige Variablen in der On-Shell-Aktion $S_{\rm cl}(x_b,t_b;x_a,t_a)$ , und wir nehmen an, dass es sinnvoll ist, partielle Ableitungen bzgl. jeder von ihnen.
Eine geschlossene Formel für die On-Shell-Wirkung kann man im Allgemeinen nicht angeben $S_{\rm cl}(x_b,t_b;x_a,t_a)$ (das bezieht sich irgendwie nicht auf die Off-Shell-Aktion), nur in besonderen Fällen.
Bei der Frage von OP geht es im Wesentlichen um den Beweis des Lemmas in meiner Phys.SE-Antwort hier .
Es sollte wahrscheinlich betont werden, dass Ref. 1 setzt implizit in der Gesamtzeitdifferenzierung voraus
$\begin{matrix} (zwischen 2.6 und 2.7) & \frac{D S_{C l} (X_{B} (T_{B}), T_{B}; X_{A}, T_{A})}{D T_{B}} = L (X_{B}, {\dot{X}}_{B} (X_{B}, T_{B}; X_{A}, T_{A}), T_{B}), \end{matrix}$ $\frac{d S_{\rm cl}(x_b(t_b),t_b;x_a,t_a)}{dt_b} ~=~ L(x_b,\dot{x}_b(x_b,t_b;x_a,t_a),t_b), \qquad \tag{btwn 2.6 and 2.7 }$ dass die Variation der Randbedingungen auf dem gleichen klassischen Weg verläuft, siehe meine oben erwähnte Phys.SE-Antwort für Details.

Verweise:

Brian Pendleton, Quantum Theory Lecture Notes, University of Edinburgh, September 2015. Die PDF-Datei ist hier verfügbar .

Das hat mir ein wenig geholfen, aber ich kann immer noch nicht sehen, wo Sie Gl. (13) in Ihrer SE-Antwort, die verlinkt ist
Das Bit, das die folgende Beziehung erforderte, kannte ich nicht! Ich schätze jedoch Ihre detaillierten Erklärungen zu der verknüpften Antwort

Alexander McFarlane · Answer 2

Direkt von diesem Link "From the Hamilton's Variational Principle to the Hamilton Jacobi Equation", PSU-Physics Lecture Notes...

Für eine beliebige Funktion gilt $S = S(\mathbf{u}, \mathbf{v}, t)$ ,

\frac{D S}{D T} = \dot{u} \frac{\partial S}{\partial u} + \dot{v} \frac{\partial S}{\partial v} + \frac{\partial S}{\partial T}

$\frac{dS}{dt} = \dot{\mathbf{u}} \frac{\partial S}{\partial \mathbf{u}} + \dot{\mathbf{v}} \frac{\partial S}{\partial \mathbf{v}} + \frac{\partial S}{\partial t}$ verwenden,

\frac{\partial S}{\partial u} = (\frac{\partial S}{\partial u_{1}}, \frac{\partial S}{\partial u_{2}}, \frac{\partial S}{\partial u_{3}})

$\frac{\partial S}{\partial \mathbf{u}} = \left( \frac{\partial S}{\partial u_1}, \frac{\partial S}{\partial u_2}, \frac{\partial S}{\partial u_3} \right)$

Damit ist das ganze Problem gelöst. Es war einfach so, dass ich die obige Beziehung nicht kannte.

Ein weiterer Grund für den Vorteil der Indexnotation , wie man schreiben kann ${\rm d}S/{\rm d}t=\dot{u}_i\partial S/\partial u_i+\cdots$ für $i\in(1,3)$ (oder 0,3 für 4D).
Nett :) Ich werde es so belassen, damit es trotzdem einfach zu lesen ist
Diese Formel ist die Kettenregel für Funktionen mit explizit $t$ -Abhängigkeit, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
@Qmechanic danke für die Benennung. Ich hatte Mühe, seinen Beweis zu finden

Prinzip der kleinsten Wirkung: dScldtb=∂Scl∂tb+∂Scl∂xbx˙bdScldtb=∂Scl∂tb+∂Scl∂xbx˙b\frac{d S_{cl}}{dt_b} = \frac{\partial S_{cl} }{\partial t_b} + \frac{\partial S_{cl}}{\partial x_b}\dot{x}_b

Alexander McFarlane

Frage

Versuchen

Ableitung

Verweise

Antworten (2)

QMechaniker

Alexander McFarlane

QMechaniker

Alexander McFarlane

Alexander McFarlane

Kyle Kanos

Alexander McFarlane

QMechaniker

Alexander McFarlane

"Finde die Lagrange-Funktion der Theorie"

Warum muss die Gesamtaktion ein Extremum haben?

Was sind Lagrange-Multiplikatoren in Bezug auf holonome Beschränkungen in der klassischen Mechanik?

Warum wird die Formel für die stationäre Wirkung als kinetische minus potentielle Energie anstelle von potentieller minus kinetischer Energie ausgedrückt?

Welche Bedeutung hat Handeln?

Nachweis der Unabhängigkeit der Lagrangefunktion von der Position eines freien Teilchens unter Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichung

Mehrere stationäre Punkte des Aktionsfunktionals

Müssen die abwechslungsreichen Wege im Geschehen körperlich möglich sein?

Verwirrung um das Prinzip der kleinsten Wirkung in Landau & Lifshitz "The Classical Theory of Fields"

Warum das Prinzip der kleinsten Wirkung?