Srednicki QFT Kapitel 29: Feynman-Diagramme zur Berechnung der effektiven Einwirkung

Question

Srednicki QFT Kapitel 29: Feynman-Diagramme zur Berechnung der effektiven Einwirkung

Physik
Wegintegral
Feynman-Diagramme
1pi-effektive-Aktion
Quantenfeldtheorie
Effektive-Feld-Theorie

Nashorn

Ich versuche, mich durch Srednicki, Kapitel 29 über Wilsons Herangehensweise an die Renormalisierung zu arbeiten. Allerdings bin ich mir nicht sicher, warum die Feynman-Diagramme, die Srednicki in diesem Kapitel betrachtet und berechnet, die richtigen sind.

In diesem Kapitel betrachten wir a $\phi^4$ Theorie im euklidischen Raum mit Pfadintegral

\begin{matrix} (29.4) & Z (J) = \int D ϕ e^{- S_{E} + \int J ϕ} \end{matrix}

$Z(J) = \int D\phi \ e^{-S_{E} + \int J \phi} \tag{29.4}$ wo die Euklidische Aktion

\begin{matrix} (29.5) & S_{E} = \int D^{4} X (\frac{1}{2} Z_{ϕ} \partial_{μ} ϕ \partial_{μ} ϕ + \frac{1}{2} Z_{M} M_{P H} ϕ^{2} + \frac{1}{4!} Z_{λ} λ_{P H} ϕ^{4}) . \end{matrix}

$S_E = \int d^4x \left( \frac{1}{2}Z_{\phi} \partial_{\mu} \phi \partial_{\mu}\phi + \frac{1}{2}Z_{m} m_{ph}\phi^2 + \frac{1}{4!}Z_{\lambda}\lambda_{ph}\phi^4\right).\tag{29.5}$

Soweit ich weiß, legen wir dann eine Momentum-Grenze fest $\Lambda$ und das Feld teilen

ϕ (X) = φ (X) + χ (X),

$\phi (x) = \varphi (x) + \chi (x) ,$ Wo

φ (x)

$\varphi (x)$ hat Unterstützung im Impulsraum nur für

| k | < Λ

$|k| < \Lambda$ während

χ

$\chi$ hat nur Unterstützung für

| k | > Λ

$|k| > \Lambda$ . Dies sollte aufgeteilt werden

D ϕ = D φ D χ,

$D \phi = D\varphi D\chi,$ und die Aktion wird

S_{E} = \int D^{4} X (\frac{1}{2} Z_{ϕ} \partial_{μ} φ \partial_{μ} φ + \frac{1}{2} Z_{M} M_{P H} φ^{2} + \frac{1}{4!} Z_{λ} λ_{P H} φ^{4}) + \int D^{4} X (\frac{1}{2} Z_{ϕ} \partial_{μ} χ \partial_{μ} χ + \frac{1}{2} Z_{M} M_{P H} χ^{2} + \frac{1}{4!} Z_{λ} λ_{P H} (χ^{4} + 4 χ^{3} φ + 6 χ^{2} φ^{2} + 4 χ φ^{3})) .

$S_E = \int d^4x \left( \frac{1}{2}Z_{\phi} \partial_{\mu} \varphi \partial_{\mu}\varphi + \frac{1}{2}Z_{m} m_{ph}\varphi^2 + \frac{1}{4!}Z_{\lambda}\lambda_{ph}\varphi^4\right) + \int d^4x \left( \frac{1}{2}Z_{\phi} \partial_{\mu} \chi \partial_{\mu}\chi + \frac{1}{2}Z_{m} m_{ph}\chi^2 + \frac{1}{4!}Z_{\lambda}\lambda_{ph} \left( \chi^4 + 4 \chi^3 \varphi + 6 \chi^2 \varphi^2 + 4 \chi \varphi^3 \right) \right).$

Jetzt wollen wir die Modi mit hohem Impuls integrieren, um eine effektive Aktion zu erhalten

\begin{matrix} (29.9) & Z (J) = \int D φ e^{- S_{e F F} (φ) + \int J φ}, \end{matrix}

$Z(J) = \int D\varphi e^{-S_{eff}(\varphi) + \int J \varphi}, \tag{29.9}$

Wo

\begin{matrix} (29.10) & S_{e F F} (φ) = - Protokoll (\int D χ e^{- S_{E} (φ, χ)}) . \end{matrix}

$S_{eff}(\varphi) = - \log \left( \int D\chi e^{-S_E(\varphi , \chi)} \right).\tag{29.10}$

Srednicki sagt dann, um die Parameter zu berechnen, die die Operatoren multiplizieren, die im effektiven Lagrangian erscheinen

\begin{matrix} (29.11) & L_{e F F} (φ) = \frac{1}{2} Z (Λ) \partial_{μ} φ \partial_{μ} φ + \frac{1}{2} M (Λ)^{2} φ^{2} + \frac{1}{4!} λ (Λ) φ^{4} + \sum_{D \geq 6} \sum_{ich} C_{D, ich} (Λ) Ö_{D, ich} \end{matrix}

$L_{eff}(\varphi) = \frac{1}{2}Z(\Lambda) \partial_{\mu} \varphi \partial_{\mu}\varphi + \frac{1}{2} m(\Lambda)^2 \varphi^2 + \frac{1}{4!}\lambda (\Lambda)\varphi^4 + \sum_{d \geq 6} \sum_{i} c_{d,i}(\Lambda) \mathcal{O}_{d,i}\tag{29.11}$

Wir müssen die 1PI-Diagramme mit der richtigen Anzahl von externen summieren $\varphi$ Linien und intern $\chi$ Verbreiter.

Was ich jetzt nicht verstehe, ist, warum wir nur über die 1PI-Diagramme summieren müssen. Für mich würde die Formel für die effektive Wirkung nahelegen, dass wir über alle verbundenen* Diagramme nur mit internen summieren sollten $\chi$ Propagatoren und nicht nur die 1PI-Diagramme. Also zum Beispiel für die Berechnung des Koeffizienten von $\varphi^6$ , warum betrachte ich kein Diagramm, das zwei Knoten mit 3 externen verbindet $\varphi$ Linien mit einem einzigen $\chi$ Linie?

Antworten (3)

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Abdelmalek Abdesselam · Answer 1

Ich habe das Buch nicht vor mir, aber ich denke, man sollte diese Erklärung von Wilsons RG nicht zu wörtlich nehmen. Wenn Sie auf einer genauen Identität bestehen

Z [J] = \int D ϕ e^{- S_{E} + J ϕ} = \int D φ e^{- S_{e F F} (φ) + J φ}

$Z[J]=\int D\phi\ e^{-S_E+J\phi}=\int D\varphi\ e^{-S_{eff}(\varphi)+J\varphi}$ dann wird die effektive Aktion im Prinzip nicht durch einen lokalen effektiven Lagrangian gegeben . Die höheren Betreiberkonditionen werden nämlich nicht gefallen

\int D X φ (X)^{N}

$\int dx \ \varphi(x)^n$ aber eher so

\int \dots \int D X_{1} \dots D X_{N} K (X_{1}, \dots, X_{N}) φ (X_{1}) \dots φ (X_{N})

$\int\cdots\int dx_1\cdots dx_n\ K(x_1,\ldots,x_n)\varphi(x_1)\cdots\varphi(x_n)$ für einige nichtlokale Kernel

K

$K$ die aus den verbundenen Diagrammen mit gemacht werden

χ

$\chi$ Verbreiter. Man könnte eine lokale Annäherung schreiben, die darauf hinausläuft, die letzte Menge durch sagen wir zu ersetzen

\int \dots \int D X_{1} \dots D X_{N} K (X_{1}, \dots, X_{N}) φ (X_{1})^{N}

$\int\cdots\int dx_1\cdots dx_n\ K(x_1,\ldots,x_n)\varphi(x_1)^n$ Der Beitrag der Diagramme beinhaltet also die effektiven Kopplungen

\int \dots \int D X_{2} \dots D X_{N} K (X_{1}, \dots, X_{N})

$\int\cdots\int dx_2\cdots dx_n\ K(x_1,\ldots,x_n)$

= \int \dots \int D X_{2} \dots D X_{N} K (0, X_{2}, \dots, X_{N})

$=\int\cdots\int dx_2\cdots dx_n\ K(0,x_2,\ldots,x_n)$ durch Übersetzungsinvarianz. Wenn Sie dies jetzt in den Impulsraum schreiben, sehen Sie, dass die

χ

$\chi$ Verbundene Graphen werden bei einem externen Impuls von Null ausgewertet . Wenn der Graph nicht 1PI ist, gibt es eine Brücke oder eine trennende interne Linie, durch die der Impuls Null fließen sollte. Aber dies a

χ

$\chi$ Propagator und verschwindet konstruktionsbedingt für Momente

< Λ

$<\Lambda$ und vor allem null. Zusammenfassend sollte man im Prinzip alle verbundenen Graphen einbeziehen, aber die einzigen Überlebenden der Nullimpulsbewertung sind die 1PI-Graphen.

Bearbeiten Sie gemäß den Zweifeln von AFT: Eine hervorragende Darstellung der Verwendung der Positionsraumoperation von sich bewegenden Punkten $x_1,\ldots,x_n$ zu allen sitzen sagen $x_1$ , um eine Renormierung durchzuführen, finden Sie in Abschnitt II.2 des Buches „From Perturbative to Constructive Renormalization“ von Vincent Rivasseau. Für diejenigen, die noch mathematischer veranlagt sind, siehe auch den kürzlich erschienenen Artikel von Martin Hairer "An Analyst's Take on the BPHZ Theorem" .

Ich bin mir nicht sicher, ob ich diese Erklärung kaufe (IMHO der Ersatz $\phi_1\cdots\phi_n\to\phi^n$ scheint in keiner Weise eine gültige Annäherung zu sein). Beachten Sie vorerst, dass es eine kostenlose Kopie von Srednickis Buch auf seiner Webseite gibt .
@AccidentalFourierTransform: Haben Sie von der lokalen Potentialannäherung und der Ableitungserweiterung gehört? Der Ersatz $\varphi_1\cdots \varphi_n\rightarrow \varphi^n$ ist das Herzstück der Renormierung in QFT. Das ist die Intuition dahinter $K$ ist aus hart $\chi$ Propagatoren, die im Ortsraum schnell abklingen, wenn sich die Punkte weiter voneinander entfernen. Andererseits ist dieser nichtlokale Kern mit externen weichen oder langsam variierenden Feldern gekoppelt $\varphi(x_i)$ .
@AccidentalFourierTransform: Ich bin sicher, Sie wissen es, aber wahrscheinlich in einer anderen Sprache: Impulsraum. Im BPHZ-Framework renormiert man einen Teilgraphen mit oberflächlichem Divergenzgrad $\delta\ge 0$ durch Subtrahieren der Bestellung $\delta$ Taylor-Expansion um Null herum. Dies ist die grundlegende Operation, die in Zimmermanns Waldformel rekursiv iteriert wird. Wenn Sie die Koordinaten in den Positionsraum ändern, ist diese Subtraktion am einfachsten $\delta=0$ Fall ist der Unterschied zwischen $\varphi_1\cdots\varphi_n$ Und $\varphi_1^n$ . Ich werde meine Antwort bearbeiten, um eine detaillierte Referenz hinzuzufügen.

kryomaxim · Answer 2

Der Grund ist das Linked-Cluster-Theorem. Es besagt, dass eine Aktion gegeben ist $S(\chi)$ , dann die von erzeugten Feynman-Diagramme

$Z = \int \mathcal{D}[\chi] e^{iS(\chi)}$

sind manchmal unzusammenhängend, zB erhält man bei der Auswertung einer Ordnung in der Störungsreihenentwicklung nicht nur ein zusammenhängendes Feynman-Diagramm, sondern mehrere voneinander unabhängige Diagramme. Lassen $W$ sei das erzeugende Funktional für Feynman-Diagramme, die alle verbunden sind. Dann sagt das Linked-Cluster-Theorem das aus

$W = \log Z$ .

Denn bei der Wirkleistungsrechnung haben Sie genau diesen Logarithmus, Sie müssen nur alle zusammenhängenden Diagramme addieren und können daher getrennte ignorieren. Reduzierbare Feynman-Diagramme werden in irreduzible umgewandelt.

Außerdem, wenn $Z[J]$ hängt vom Quellfeld ab $J$ , aus der man alle möglichen Korrelationsfunktionen ableiten kann, indem man Ableitungen nimmt, dann kann man das durch Ableiten zeigen $J$ -Ableitungen aus dem Funktional $W[J]$ , erhalten Sie alle möglichen Kumulanten. Die Standardabweichung

$\sigma_{XY} = <0|T(XY)|0> - <0|X|0><0|Y|0>$

für zwei Observable $X,Y$ und Zeitordnungsoperator $T$ ist eine einfache Form der Kumulante, weil sie eine neue statistische Information misst, die Abweichungen misst und Beiträge von einfachen Durchschnittswerten ignoriert $<0|X|0>$ indem man diese abzieht.

Ich schätze Ihren Kommentar zu den verbundenen Diagrammen, das war mein Fehler, dies nicht aufzunehmen. Aber selbst damit bin ich mir immer noch nicht sicher, warum Srednicki sich nur auf die irreduziblen 1-Teilchen-Diagramme beschränkt, im Gegensatz zu allen verbundenen Diagrammen.
Beachten Sie, dass $\text{irreducible diagrams}\subset\text{connected diagrams}\subset \text{all diagrams}$ wie gegeben von $\Gamma,W,Z$ . Verbunden ist nicht dasselbe wie irreduzibel.
Sie berechnen Gaußsche Momente in Variablen $\chi$ In diesem Fall und während Sie diese berechnen, erhalten Sie einen Graphen, in dem ein Scheitelpunkt mit mindestens zwei Propagatoren verbunden ist (außer dem $\chi \phi^3$ -Term, der einfach ein externes Bein ist). Der $\chi^2 \phi^2$ hat zwei Faktoren $\chi$ die nach Berechnung der Gauß-Integrale mit anderen Scheitelpunkten des Diagramms verknüpft werden können. Wenn Sie also einen Link trennen, wird er mit mindestens einem Scheitelpunkt verknüpft, und die Konnektivität bleibt erhalten.

QMechaniker · Answer 3

Srednicki impliziert nicht , dass die effektive Aktion von Wilson die effektive Aktion von 1PI ist , wenn OP danach fragt. Siehe auch diesen Phys.SE-Beitrag.

Vielmehr weist Srednicki lediglich darauf hin, dass die Zustandssumme (29.9) für die effektive Wilsonsche Aktion (wie jede Zustandssumme) am bequemsten über die Legendre-Transformation in 1PI-Diagramme analysiert werden kann.

Srednicki QFT Kapitel 29: Feynman-Diagramme zur Berechnung der effektiven Einwirkung

Nashorn

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