Coleman-Weinberg-Potenzial: Wiederaufnahme bei 2 Schleifen?

Question

Coleman-Weinberg-Potenzial: Wiederaufnahme bei 2 Schleifen?

Physik
Feynman-Diagramme
1pi-effektive-Aktion
Quantenfeldtheorie
Effektive-Feld-Theorie

zzz

Angenommen, wir möchten das Coleman-Weinberg-Potential bei 2 Schleifen berechnen.

Wie wir wissen, besteht die allgemeine Strategie darin, das Feld zu erweitern $\phi$ rund um ein klassisches Hintergrundfeld $\phi \rightarrow \phi_b + \phi$ , und mache ein Pfadintegral über den Quantenteil des Feldes, $\phi$ .

Wir können die effektive Aktion abrufen, indem wir ein Pfadintegral ausführen, so etwas wie Gl. 42 in dieser Referenz .

Es gibt zwei Möglichkeiten, dies in einer Schleife zu tun, wir können entweder eine funktionale Determinante auswerten oder das klassische Coleman-Weinberg-Ding machen, bei dem wir alle Diagramme zusammenfassen, die wir erhalten, indem wir eine beliebige Anzahl von Hintergrundfeldern einfügen $\phi_b^2$ in das Schleifenintegral. Das ist Gl. (56) derselben Referenz noch einmal .

Meine Frage ist, warum wir diese Wiederaufnahme nicht über Hintergrundfeldeinfügungen bei 2 Schleifen durchführen müssen? Zum Beispiel scheinen die Autoren in dieser (ziemlich standardmäßigen) Referenz sowie in Kapitel 11 in Peskin und Schroeder zu behaupten, dass der Beitrag der 2 Schleifen zum Pfadintegral einfach die Vakuumdiagramme „aufgehende Sonne“ und „8“ sind , und es wird nicht einmal eine Summierung über klassische Feldeinfügungen erwähnt.

Was vermisse ich?

BEARBEITEN:

Um einige weitere Details zu geben, ist in der Störungstheorie jedes Diagramm, das zum Pfadintegral beiträgt, ein räumliches Integral einer funktionalen Ableitung, die auf das Freifeldpfadintegral mit einer Quelle wirkt: das Schleifendiagramm mit n Einfügungen eines externen Felds $\phi_b$ ist der Begriff:

{(ϕ_{b}^{2} \int d x {(\frac{δ}{δ J (x)})}^{2})}^{n} Z_{0} [J]

$\left( \phi_b^2 \int dx \left( \frac {\delta}{\delta J(x)}\right)^2 \right)^n Z_0[J]$

Die 2-Loop-Figur 8 ist

\int d x {(\frac{δ}{δ J (x)})}^{4} Z_{0} [J]

$\int dx \left( \frac {\delta}{\delta J(x)}\right)^4 Z_0[J]$

Die 2 Schleifendiagramme, die die oben zitierten Artikel anscheinend ausschließen, sind Beiträge wie

{(ϕ_{b}^{2} \int d x {(\frac{δ}{δ J (x)})}^{2})}^{n} \int d x {(\frac{δ}{δ J (x)})}^{4} Z_{0} [J]

$\left( \phi_b^2 \int dx \left( \frac {\delta}{\delta J(x)}\right)^2 \right)^n\int dx \left( \frac {\delta}{\delta J(x)}\right)^4 Z_0[J]$

Es scheint mir, dass diese Terme tatsächlich in der exponentiellen Expansion der wechselwirkenden Lagrangian auftreten werden, also scheint es, dass eine Wiederaufnahme vorüber ist $n$ , wie im 1-Schleifen-Fall, ist immer noch notwendig. Wo ist mein Fehler?

zzz

@Qmechanic, danke für die Bearbeitung, aber der von Ihnen verlinkte Wikipedia-Artikel scheint das Potenzial von Coleman Weinberg als das Potenzial des QED-Lagranges zu definieren. In der klassischen Arbeit von Coleman und Weinberg wenden sie ihre Analyse jedoch auch auf einfachere Skalarfeldtheorien an. Hier beziehe ich mich eindeutig auf ein solches Potenzial für eine Skalarfeldtheorie.

QMechaniker

HI @bechira: OK, Wiki-Link wieder entfernt. Erwägen Sie, weitere Details hinzuzufügen, um den Beitrag besser zugänglich zu machen. Denken Sie auch daran, Autor, Titel usw. von Links hinzuzufügen, damit Links im Falle einer Linkfäule rekonstruiert werden können.

Lubos Motl

Bechira, in allen Fällen schreibt man einfach alle Feynman-Diagramme mit den entsprechenden externen Linien, die die erlaubten Eckpunkte enthalten, auf. Wenn die Einfügungen Null sind, verschwinden sie entweder garantiert oder werden auf andere Weise subtrahiert, bevor Sie die Aktion für den Quantenteil aufschreiben.

zzz

@LubošMotl ja natürlich, die Frage ist, dass es für mich nicht offensichtlich ist, dass die Diagramme, die Sie erhalten, wenn Sie beispielsweise ein Hintergrundfeld auf einer Linie im Diagramm der untergehenden Sonne einfügen, verschwinden.

zzz

@Qmechanic Danke, ich habe einige Details hinzugefügt, um das Problem weiter aufzuschlüsseln.

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Coleman-Weinberg-Potenzial: Wiederaufnahme bei 2 Schleifen?

@Qmechanic, danke für die Bearbeitung, aber der von Ihnen verlinkte Wikipedia-Artikel scheint das Potenzial von Coleman Weinberg als das Potenzial des QED-Lagranges zu definieren. In der klassischen Arbeit von Coleman und Weinberg wenden sie ihre Analyse jedoch auch auf einfachere Skalarfeldtheorien an. Hier beziehe ich mich eindeutig auf ein solches Potenzial für eine Skalarfeldtheorie.
HI @bechira: OK, Wiki-Link wieder entfernt. Erwägen Sie, weitere Details hinzuzufügen, um den Beitrag besser zugänglich zu machen. Denken Sie auch daran, Autor, Titel usw. von Links hinzuzufügen, damit Links im Falle einer Linkfäule rekonstruiert werden können.
Bechira, in allen Fällen schreibt man einfach alle Feynman-Diagramme mit den entsprechenden externen Linien, die die erlaubten Eckpunkte enthalten, auf. Wenn die Einfügungen Null sind, verschwinden sie entweder garantiert oder werden auf andere Weise subtrahiert, bevor Sie die Aktion für den Quantenteil aufschreiben.
@LubošMotl ja natürlich, die Frage ist, dass es für mich nicht offensichtlich ist, dass die Diagramme, die Sie erhalten, wenn Sie beispielsweise ein Hintergrundfeld auf einer Linie im Diagramm der untergehenden Sonne einfügen, verschwinden.
@Qmechanic Danke, ich habe einige Details hinzugefügt, um das Problem weiter aufzuschlüsseln.

Adam · Answer 1

Bei der Berechnung des effektiven Potenzials $V(\phi)$ in der geordneten Phase ( $\phi_b>0$ ), muss man den klassischen Propagator verwenden $G_c[\phi_b]$ gegeben durch die Umkehrung von

\frac{δ^{2} S [ϕ]}{δ ϕ^{2}},

$\frac{\delta^2 S[\phi]}{\delta\phi^2},$ was eine Funktion von ist

ϕ

$\phi$ . Die Vakuumenergie ist gegeben durch

V (ϕ_{b})

$V(\phi_b)$ , wo man sich das merken sollte

ϕ_{b}

$\phi_b$ wird auch konsistent in Störung durch berechnet

v^{'} (ϕ_{b}) = 0.

$V'(\phi_b)=0.$ Die Verwendung des klassischen Propagators ist gleichbedeutend mit einer konsequenten Wiederaufnahme der

ϕ_{b}^{2}

$\phi_b^2$ zu allen bestellen. Insbesondere ist die wirksame Wirkung bei Zweischleifen dadurch gegeben

Γ [ϕ] = S [ϕ] + \frac{1}{2} T r Protokoll G_{c} [ϕ] + 2 - l Ö Ö p s d ich a g r a m s,

$\Gamma[\phi]=S[\phi]+\frac{1}{2}Tr \log G_c[\phi]+{\rm 2-loops\; diagrams},$ wobei die 2-Schleifen-Diagramme die 8 und die aufgehende Sonne sind, die mit dem klassischen Propagator berechnet werden müssen.

Warum ist "Die Verwendung des klassischen Propagators ist gleichbedeutend mit einer konsequenten Wiederaufnahme des $\phi_b^2$ alle bestellen"?
@bechira: Sehen Sie sich das effektive Potenzial bei einer Schleife an. Der klassische Propagator umfasst die $\lambda\phi_b^2$ Begriff. Wenn Sie den Propagator im Protokoll erweitern, führt dies zu der $\phi_b^2$ Begriffe, die neu zusammengefasst werden müssen, wenn Sie den kostenlosen Propagator verwenden.

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Lubos Motl

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