Feynman-Diagrammdarstellung der Variationsableitung der S-Matrix

Question

Feynman-Diagrammdarstellung der Variationsableitung der S-Matrix

Physik
Interaktionen
s-Matrix-Theorie
Feynman-Diagramme
Störungstheorie
Quantenfeldtheorie

Blazej

Seit geraumer Zeit kämpfe ich damit, Abschnitt 6.4 in Weinberg Band 1 zu verstehen. Er stellt dort fest, dass bei Wechselwirkung die Hamilton-Dichte durch Kopplung an c-Zahl-Felder erweitert wird $\epsilon$ ,

H_{ich N T} (X) \mapsto H_{ich N T} (X) + ϵ (X) Ö (X),

$\mathcal H_{\mathrm{int}}(x) \mapsto \mathcal H_{\mathrm{int}}(x) + \epsilon(x) o(x),$ Wo

o

$o$ Sind einige Operatoren im Interaktionsbild, dann wird die S-Matrix zu einer Funktion von

ϵ

$\epsilon$ . Dieses Funktional kann mit Feynman-Regeln berechnet werden. Das ist ganz klar. Er behauptet dann jedoch, dass, wenn wir die Variationsableitung in Bezug auf berechnen

ϵ

$\epsilon$ bei

ϵ = 0

$\epsilon=0$ Wir erhalten eine Summe von Termen, die durch Feynmann-Diagramme dargestellt werden, wobei sich nur interne Linien bei treffen

o (x)

$o(x)$ Eckpunkte. Ich verstehe nicht, was der Grund dafür ist, Diagramme mit externen Linien zu verwerfen, die in die fließen

o (x)

$o(x)$ Eckpunkte. Explizit habe ich die Formel erhalten (die auch eine Seite später in Weinberg niedergeschrieben ist)

{\frac{δ^{R} S_{β a} [ϵ]}{δ ϵ (j_{1}) . . . δ ϵ (j_{R})} |}_{ϵ = 0} = \sum_{N = 0}^{\infty} (- ich)^{N + R} ⟨ β | T {\prod_{ich = 1}^{N} [\int D X_{ich} H_{ich N T} (X_{ich})] Ö (j_{1}) . . . Ö (j_{R})} | a ⟩ .

$\left. \frac{\delta^r S_{\beta \alpha}[\epsilon]}{\delta \epsilon(y_1)...\delta\epsilon(y_r)} \right|_{\epsilon=0} = \sum_{n=0}^{\infty} (-i)^{n+r} \langle \beta | T \left\{ \prod_{i=1}^n \left[ \int \mathrm d x_i \mathcal H_{\mathrm{int}}(x_i) \right] o(y_1)...o(y_r) \right\} |\alpha \rangle .$ Es scheint mir, dass Feldoperatoren in

o (y)

$o(y)$ können mit Anfangs- und Endzuständen kontrahiert werden, ebenso wie diese in

H_{i n t}

$\mathcal H_{\mathrm{int}}$ . Was ist hier der Unterschied?

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Feynman-Diagrammdarstellung der Variationsableitung der S-Matrix

Alexej Sokolik · Answer 1

In Feynman-Diagrammen in Koordinatendarstellung sind externe Linien diejenigen, bei denen ein Ende fest ist (dh eine feste Koordinate hat, die nicht an Integrationen teilnimmt) und das andere Ende ein interner Scheitelpunkt ist.

Wenn in Ihrer Formel die Operatoren $o(y_i)$ sind einteiliger Natur (d.h. enthalten $\Psi$ oder $\Psi^+$ aber nicht ihre Produkte), dann haben Sie $r$ externe Leitungen ab $y_1,\ldots,y_r$ . Siehe Abb. 1: es ist ein Beispiel für $r=4$ , externe Leitungen sind blau.

Wenn die Betreiber $o(y_i)$ sind zweiteilig (z. B. aktuelle Operatoren wie $\Psi^+\hat{J}\Psi$ ), haben wir eher externe Knoten mit Koordinaten $y_1,\ldots,y_r$ , wobei jede von ihnen eine Quelle für zwei externe Leitungen ist (siehe Abb. 2, externe Leitungen sind blau).

Was die Anfangs- und Endzustände betrifft $|\alpha\rangle$ Und $\langle\beta|$ : Wenn sie von ihren eigenen Koordinaten abhängen, kann dies zusätzliche externe Eckpunkte in das Diagramm einführen. Zum Beispiel, wenn $|\alpha\rangle=\Psi(z_\alpha)|0\rangle$ , $|\beta\rangle=\Psi(z_\beta)|0\rangle$ , erhalten Sie zusätzliche externe Stützpunkte mit den Koordinaten $z_\alpha$ Und $z_\beta$ . Wenn $|\alpha\rangle=\Psi^+(z_\alpha)\Psi(z_\alpha)$ , entspricht es einem Zwei-Teilchen-Scheitelpunkt und so weiter.

Wenn ich ein Teilchen im Anfangszustand habe, erhalte ich Diagramme mit der Linie des Anfangsteilchens, die bei endet $o(y)$ Scheitel?
Wenn ich die Vorgehensweise der weiteren Berechnungen richtig verstanden habe, werden Anfangs- und Endzustände schließlich nur noch auf mehrere zusätzliche externe Operatoren reduziert. Wenn beispielsweise der Anfangszustand ein angeregter Ein-Teilchen-Zustand ist, wie z $|\alpha\rangle=\int dx\:f(x)\Psi^+(x)|0>$ , dann bekommen wir das "externe" $\Psi^+(x)$ . Wenn $o(y)$ ebenfalls ein Ein-Teilchen-Operator ist, dann die Paarung $\langle To(y)\Psi^+(x)\rangle$ (entsprechend der Linie, von der Sie sprechen) führt zu einem getrennten Diagramm, das normalerweise abgebrochen wird.
Sie haben Recht, diese Paarung von $o(y)$ mit Anfangs- oder Endzustand führt zu einem unzusammenhängenden Diagramm, es sei denn, es handelt sich um einen Übergang von einem Teilchen zum Vakuum (oder umgekehrt). Allerdings weist Weinberg in seinem Buch ausdrücklich darauf hin, dass er auch den Fall von Mehrteilchenoperatoren betrachtet. Ich denke, diese sollten echte Beiträge zum angeschlossenen Teil liefern $S$ -Matrix.
Ehrlich gesagt verstehe ich nicht, warum wir willkürliche Anfangs- und Endzustände verwenden müssen $|\alpha\rangle$ Und $|\beta\rangle$ anstatt über Vakuum oder Fermisphäre zu mitteln (wie in der Festkörperphysik), wenn wir die Operatoren bereits eingeführt hätten $o(y)$ die zu Anfangs-, End- oder Zwischenzeiten die gleiche Rolle wie externe Feldquellen spielen können. Vielleicht ist es für weitere Berechnungen bequemer.

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