Verständnis von Feynman-Diagrammen für die 2-Punkt-Korrelationsfunktion und ϕ3ϕ3\phi^3

Dies ist eine Folgefrage (siehe erste hier , zweite hier ). Sie müssen diese beiden nicht unbedingt gelesen haben, um diesem Beitrag folgen zu können.

Ich bin bestrebt zu verstehen$V(\phi) = -\lambda \frac{\phi^3}{3!}$Theorie für die$2-$Punktkorrelationsfunktion im Detail. Der Einfachheit halber konzentrieren wir uns nur auf verbundene Diagramme.

In den vorherigen Beiträgen habe ich meine Aufmerksamkeit auf Berechnungen über die Partitionsfunktion gelenkt$Z[J] = \int d[\phi] e^{iS[\phi] + i\int d^d x J(x) \phi(x)}$. Hier möchte ich mehr von einem konzeptionellen Verständnis bekommen.

Da wir die studieren$2-$Punktkorrelationsfunktion, können wir nur zwei externe Zweige haben. Die Anzahl der Scheitelpunkte hängt von der Ordnung in der Störungstheorie ab (dh$\mathcal{O}(\lambda)$). Ich habe einige konzeptionelle Fragen, die ich zu gegebener Zeit präsentieren werde. Lassen Sie uns anfangen

• $\mathcal{O}(\lambda^0)$Befehl.

In diesem Fall haben wir es mit keinem Scheitelpunkt zu tun (und natürlich mit zwei äußeren Beinen. Letzteres werde ich nicht explizit erwähnen, da wir es immer mit zwei äußeren Beinen zu tun haben, dh dem$2-$Punktkorrelationsfunktion$\langle \phi(x_1) \phi(x_2) \rangle$). Daher ist das Feynman-Diagramm einfach der Propagator, dh

• $\mathcal{O}(\lambda^1)$Befehl.

Das habe ich gelesen$\langle \phi(x_1) \phi(x_2) \rangle$, für$\phi^3$, hat kein Diagramm für$\mathcal{O}(\lambda^1)$Ordnung, weil es unmöglich ist, ein Diagramm mit zwei äußeren Schenkeln und einem Scheitelpunkt zu haben . Ich dachte, der Grund dafür sei, dass ein äußeres Bein per Definition durch einen Scheitelpunkt mit einer ausgehenden Linie dargestellt wird. Wenn wir also ein weiteres äußeres Bein hinzufügen würden, müssten wir notwendigerweise einen weiteren Scheitelpunkt hinzufügen. Dies scheint jedoch falsch zu sein. Warum ist eine solche Aussage dann wahr?

• $\mathcal{O}(\lambda^2)$Befehl.

Es gibt nur ein Diagramm zweiter Ordnung: zwei äußere Beine, eine Schleife in der Mitte, und jedes äußere Bein geht in seinen eigenen Scheitelpunkt auf der Schleife, also zwei Scheitelpunkte

Warum ist dies das einzigartige Diagramm für $\mathcal{O}(\lambda^2)$ obwohl? Ich denke, die Antwort beruht auf Eulers Formel$L=I-V + 1$(Wo$L$ist die Anzahl der Schleifen,$I$ist die Anzahl der internen Leitungen und$V$ist die Anzahl der Ecken). Wir haben$V=2$, So$L=I-2 + 1$. Eine negative Anzahl von Schleifen (glaube ich) macht keinen Sinn, also brauchen wir$I \geq 1$. Wenn$I = 1$wir erholen uns einfach$\mathcal{O}(\lambda^0)$bestellen, also verwerfen wir diese. Wenn$I = 2$, erhalten wir das gewünschte Diagramm. Wenn$I = 3$Wir bräuchten 2 Schleifen und ich denke, dass es nicht möglich ist, 2 Schleifen mit nur zwei Scheitelpunkten zu haben (ich muss noch einmal fragen: warum?)

Wenn das obige Argument basierend auf der Euler-Formel falsch ist, lassen Sie es mich bitte wissen.

• $\mathcal{O}(\lambda^3)$Befehl.

Genauso wie für$\mathcal{O}(\lambda^1)$, es gibt kein Diagramm für$\mathcal{O}(\lambda^3)$weil es unmöglich ist, ein Diagramm mit zwei äußeren Beinen und drei Ecken zu haben . Sobald ich verstehe, warum dies der Fall ist$\mathcal{O}(\lambda^1)$, ich sollte in der Lage sein zu verstehen, warum$\mathcal{O}(\lambda^3)$hat kein Diagramm.

• $\mathcal{O}(\lambda^4)$Befehl.

Auch hier kann ich nur einen Beitrag finden, der auf Eulers Formel basiert: wir haben$4$Ecken und$5$interne Linien, daher$2$Schleifen.

Die Frage ist: warum? Auch hier sollte ich in der Lage sein zu antworten, sobald ich verstehe, warum es ein eindeutiges Diagramm für gibt$\mathcal{O}(\lambda^2)$Befehl.

Die Ordnungen in Störung gehen natürlich weiter. Lassen Sie uns jedoch bei stoppen$\mathcal{O}(\lambda^4)$zur Zeit :)

PS: Bitte beachten Sie, dass dies keine Hausaufgabenfrage ist. Ich studiere Osborn-Notizen , Abschnitt 2.2. Interacting Scalar Field Theories , und ich möchte verstehen, wie er die Feynman-Regeln konstruiert hat, indem ich das einfachste Beispiel ausgearbeitet habe, das ich finden konnte:$\phi^3$Theorie und die$2-$Punktkorrelationsfunktion

EDIT 0 Dank der bereitgestellten Antwort verstehe ich die Dinge besser! Lassen Sie mich Ihnen nur ein paar kurze Fragen stellen

1. So für$\mathcal{O}(\lambda^6)$, das Diagramm ist

Dh$8$interne Linien u$6$Scheitelpunkte so über die Euler-Formel$L=8-6+1=3$Schleifen.

Mmm, ich fange an, ein Muster zu sehen. Ich würde das für die sagen$\mathcal{O}(\lambda^n)$wir würden bekommen

$\frac{3N}{2}-1$interne Leitungen,$N$Ecken und$\frac{N}{2}$Schleifen. Sind Sie einverstanden?

2. Ich bekomme nur ein Diagramm für jede Ordnung in der Störungstheorie. Wenn ich tatsächlich richtig liege, warum bekommen wir nur ein Diagramm für jede Bestellung?