Schleifenzählung – was ist, wenn der Graph nicht planar ist?

Das wird in der Regel behauptet ℏ zählt die Anzahl der Schleifen in einem zusammenhängenden Diagramm. ZB Weinbergs QFT, Band II, Gleichung 16.1.10. Dies beruht darauf, dass für ein Diagramm mit ICH interne Linien u v Scheitelpunkte, die Anzahl der Schleifen ist

(1) L = ICH − v + 1

Nun, diese Gleichung ist im Wesentlichen Eulers Formel für planare Graphen . Eine solche Formel gilt jedoch nur für planare Graphen, also wie machen wir Sinn? ( 1 ) für nicht-planare Graphen? Wie beweisen wir ℏ zählt die Anzahl der Schleifen in einem beliebigen (zusammenhängenden) Diagramm, unabhängig davon, ob es planar ist oder nicht?

Siehe den zweiten Teil dieser Antwort von mir .

Antworten (1)

Der entscheidende Punkt ist, dass, wie ACM in dieser Antwort von ihm betont , die Formel für einen allgemeinen Graphen nur die Euler-Charakteristik ist :

v − E + F = 2 ( 1 − G )
Wo G ist die Gattung des Graphen . Planare Graphen sind per Definition solche mit G = 0 .

Planar oder nicht, es ist leicht zu sehen, dass die Anzahl der unabhängigen Schleifen eines beliebigen Graphen ist

L = F − 1 + 2 G
und deshalb
L = E − v + 1
unabhängig davon G . ◻

Hinweis: die Anzahl der Schleifen L Ist F − 1 (weil das Gesicht "im Unendlichen" nicht als Schleife gezählt wird) plus 2 G , da Sie mit jedem Griff einen Zyklus ohne Schnittpunkte hinzufügen können. Daher, L = F − 1 + 2 G , wie oben behauptet.

Auch wenn die Antwort von ACM meine Frage im Wesentlichen beantwortet, möchte ich den Beitrag nicht wirklich löschen, da die Thermodynamik kürzlich die Quantenfeldtheorie überholt hat und ich möchte, dass das letztere Tag seine Position zurückerhält. Wir brauchen mehr QFT-Fragen!
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