Warum geben die Gegenterme in der renormierten ϕ4ϕ4\phi^4-Theorie mit Zweierpotenz in Körpern Knoten und keine Propagatoren?

In Betracht ziehen$\phi^4$Theorie:

$$\mathcal L=\frac12 Z_1(\partial\phi)^2-\frac12 Z_m m^2\phi^2-\frac{1}{4!}\lambda_0\phi^4$$

Es gibt zwei Ansätze zur Störungstheorie:

Erste

Der Propagator ist gegeben durch

$$\Delta=\frac{1}{Z_1p^2-Z_m m^2}$$ und es gibt einen Scheiteltyp mit Wert $$-i\lambda_0$$

Zweite

Der Propagator ist gegeben durch

$$\Delta=\frac{1}{p^2-m^2}$$ und es gibt zwei Arten von Scheitelpunkten mit Wert $$-i((Z_1-1)p^2-(Z_m-1)m^2),\qquad -i\lambda_0$$

Die beiden Ansätze sind völlig gleichwertig und führen zu genau demselben Ausdruck für einen gegebenen Streuprozess.

Beachten Sie, dass die Koeffizienten$Z_1,Z_m$hängen vom Expansionsparameter ab$\lambda$. Dies bedeutet, dass der erste Ansatz umständlicher ist, da im Allgemeinen nicht klar ist, welche Diagramme zu einer bestimmten Ordnung in der Störungstheorie beitragen, da sowohl die Knoten als auch die Propagatoren Potenzen von enthalten$\lambda$. Andererseits führt der zweite Ansatz zu mehr Diagrammen (weil es einen Knoten mehr gibt), ist aber bequemer (weil die Propagatoren unabhängig sind von$\lambda$).

Ich möchte die Antwort von AccidentalFourierTransform ergänzen:

Angenommen die$\delta$klein sind, dann können wir den renormierten Term in Potenzen erweitern$(\delta_2p^2-\delta_m)$:

$$\frac{i}{Z_2p^2-Z_mm^2}=\frac{i}{p^2-m^2 }\left(1+\frac{\delta_2p^2-\delta_m}{p^2-m^2}\right)^{-1}=\frac{i}{p^2-m^2 }\left(1-\frac{\delta_2p^2-\delta_m}{p^2-m^2}+\dots\right)=\frac{i}{p^2-m^2 }+\frac{i}{p^2-m^2 }\left(i\delta_2p^2-i\delta_m\right)\frac{i}{p^2-m^2 }+\dots$$

Welches ist die Summe aller Diagramme, die aus dem ursprünglichen Begriff + dem Gegenbegriff bestehen, also durch Identifizieren$\frac{i}{p^2-m^2}$als Impulsterm identifizieren wir$i(\delta_2p^2-\delta_m)$als Momentum-Gegenbegriff.

Das kommt von der Behandlung

$$\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi_r)^2-\frac{1}{2}m^2\phi_r^2$$ als der freie Lagrange, und Behandlung $$-\frac{\lambda}{4!}\phi_r^4+\frac{1}{2}\delta_Z(\partial_\mu\phi_r)^2-\frac{1}{2}\delta_m\phi^2_r-\frac{\delta_\lambda}{4!}\phi_r^4$$ als Störung. Die Propagatoren werden dann wie zuvor als zeitlich geordnete Zweipunkt-Korrelationsfunktionen der "freien" Feldtheorien definiert. In diesem Fall ist der Propagator das Skalarfeld $$D_F(x-y)\equiv \langle0|T\{\phi(x)\phi(y)\}|0\rangle=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{i}{p^2-m^2+i\epsilon}e^{-ip\cdot(x-y)}.$$ Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir das, was wir als „freie“ Theorie ansehen, geändert haben. Dies ändert im Grunde nur den Mittelpunkt der Störungsausdehnung.

Die Eckpunkte stammen aus den Störungstermen. Zum Beispiel expandieren wir bis zur niedrigsten Ordnung (ein Scheitelpunkt).

$$\exp\left[i\int\mathcal{L}\right]\approx\exp\left[i\int\mathcal{L}_0\right]\Big[1+i\int dx^4 \Big(-\frac{\lambda}{4!}\phi_r^4$$ $$+\frac{1}{2}\delta_Z(\partial_\mu\phi_r)^2-\frac{1}{2}\delta_m\phi^2_r-\frac{\delta_\lambda}{4!}\phi_r^4\Big) + ...\Big].$$ Die Bedingungen$-(\lambda/4!)\phi_r^4$Und$-(\delta_\lambda/4!)\phi_r^4$beide ergeben Scheitelpunkte, die vier Propagatoren verbinden, genau wie in der normalen Störungstheorie. Der Begriff$(\delta_Z/2)(\partial_u\phi_r)^2-(\delta_m/2)\phi_r^2$ergibt einen Scheitelpunkt, der zwei Propagatoren verbindet. Die Ableitungsterme machen es etwas komplizierter zu sehen, wie der Scheitelpunkt aussehen wird, aber indem Sie sich die Formel für ansehen$D_F(x-y)$oben können wir das sehen$\partial_\mu$wird nur einen zusätzlichen Faktor von herunterziehen$p_\mu$von den verbundenen Propagatoren (beide Propagatoren werden durch Vier-Impuls-Erhaltung gezwungen, den gleichen Impuls zu haben).