Wilsonsche RG und effektive Feldtheorie

Eine der wichtigsten (aber normalerweise nicht explizit gegebenen) Annahmen des störenden RG ist, dass der RG-Fluss selbst bei Vorhandensein irrelevanter Kopplungen nahe am Gaußschen Fixpunkt (FP) beginnt. Auf diese Weise fließen die negativen Massenoperatoren gegen Null, wodurch das Gaußsche FP zu einer immer besseren Annäherung wird, bis die relevanten Kopplungen eintreten.

In diesem Fall landet man bei einer "renormalisierbaren" Theorie, und man kann sich nur um die ein oder zwei relevanten Kopplungen kümmern und so zur alten Schule QFT RG zurückkehren.

Allerdings geht Wilson nicht davon aus, dass die (in Bezug auf das Gaußsche FP) irrelevanten Kopplungen klein sein müssen. Tatsächlich sind in den meisten Stat-Physik-Anwendungen alle Kopplungen von derselben Größenordnung! (Zum Beispiel gibt es im Ising-Modell nur einen Parameter$K=J/T$, also hat die entsprechende Feldtheorie alle Kopplungen derselben Ordnung.) Aber das hindert einen nicht daran, eine RG-Berechnung im Prinzip durchzuführen. Tatsächlich nähert sich die Strömung in diesen Modellen nie dem Gaußschen FP, und die Strömung ist von Anfang an nicht störend.

Man sollte jedoch im Hinterkopf behalten, dass man, wenn man nur am kritischen Verhalten des Systems interessiert ist, dank Universalität nahe einem (Wilson-Fisher-ähnlichen) FP auch eine einfachere Theorie studieren kann (etwa a$\phi^4$QFT), was (normalerweise) ausreicht, um die Festkommastruktur zu beschreiben. Dies rettet die perturbative RG vor dem Vergessen.

Das ist eine großartige Frage. OP hat Recht.

1. Einerseits wird die Wilsonian Effective Action (WEA) über ein 2-Stufen-Verfahren definiert, vgl. Ref. 1-3:

   • 1. Schritt: WEA ist der Generator$W_c[J^H,\phi_L]$von verbundenen Feynman-Diagrammen von schweren/hohen Moden$\phi_H$mit Wellenvektoren$\Lambda_L\leq |k|\leq \Lambda_H$in einem Hintergrund mit hellen/niedrigen Modi$\phi_L$mit Wellenvektoren$|k|\leq \Lambda_L$und schwere Quellen$J^H$, $$\begin{align} \exp&\left\{-\frac{1}{\hbar}W_c[J^H,\phi_L] \right\} \cr ~:=~& \int_{\Lambda_L\leq |k|\leq \Lambda_H} \! {\cal D}\frac{\phi_H}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-S[\phi_L+\phi_H]+J^H\phi_H\right)\right\}\end{align}\tag{W1}$$ (Die schweren Quellen$J^H$werden hauptsächlich eingeführt, damit wir Generierungstechniken anwenden können. Sie werden am Ende normalerweise auf Null gesetzt.) Hier$\Lambda=\Lambda_L$ist eine Renormierungsskala, und$\Lambda_H$ist eine UV-Sperre/Regulierung. (Sagen,$\Lambda_H\sim 1/a$auf einem Gitter mit Gitterkonstante$a$.)

   A priori sind die verschiedenen Begriffe in der WEA nicht normalisiert. Ein typischer kinetischer Term ist von der Form$\int\!\frac{Z_{\phi}}{2}(\partial\phi_L)^2d^nx$, während ein typischer Interaktionsterm die Form hat$\int\!\frac{Z_gg_n}{n!}\phi_L^nd^nx$, geschmückt mit$Z$-Faktoren .

   • 2. Schritt: Die Definition (W1) von WEA setzt implizit eine Blockierung voraus : Wir skalieren nun die Integrationsvariablen neu $$\begin{align} k^{\prime}~=~&k/b, \cr x^{\prime}~=~&xb, \cr b~:=~&\Lambda_L/\Lambda_H~<~1,\end{align}\tag{W2}$$ in der Aktion$W_c[J^H,\phi_L]$, so dass die Licht/Niedrig-Modi$\phi_L$hat Wellenvektoren$|k^{\prime}|\leq \Lambda_H$. Wir skalieren auch die Lichtfelder neu $$\phi_L^{\prime}~:=~Z_{\phi}^{1/2}\phi_L/ b^{[\phi]},\tag{W3}$$ damit der kinetische Term $$\int\!\frac{Z_{\phi}}{2}(\partial\phi_L)^2d^nx~=~\int\!\frac{1}{2}(\partial\phi^{\prime}_L)^2d^nx\tag{W4}$$ ist kanonisch normalisiert. In ähnlicher Weise nimmt ein typischer Interaktionsterm die Form an $$\int\!\frac{Z_gg_n}{n!}\phi_L^nd^nx~=~\int\!\frac{g_n^{\prime}}{n!}\phi_L^{\prime n}d^nx^{\prime},\tag{W5}$$ so dass die neue Kopplungskonstante wird $$g_n^{\prime}~=~\frac{Z_g}{Z_{\phi}^{n/2}}g_n/b^{[g_n]}.\tag{W6}$$ Hier die irrelevanten Kopplungen (mit$[g_n]<0$) sterben im IR aus, wenn (und das ist ein großes Wenn) wir das vernachlässigen können$Z$-Faktoren.

2. Auf der anderen Seite wird die Wilson-Polchinski Effective Action (WPEA) definiert als

   $$\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left(-\frac{1}{2}\phi_L G_L^{-1}\phi_L -W_{\rm int}[J,\phi_L]\right)\right\},\tag{WP1}$$ wo $$\begin{align} \exp&\left\{-\frac{1}{\hbar}W_{\rm int}[J,\phi_L] \right\}\cr ~:=~&\int_{\Lambda_L\leq |k|\leq \Lambda_H} \! {\cal D}\frac{\phi_H}{\sqrt{\hbar}}~\cr &\exp\left\{ \frac{1}{\hbar} \left( -\frac{1}{2}\phi_H G_H^{-1}\phi_H -S_{\rm int}[\phi_L\!+\!\phi_H]+J (\phi_L\!+\!\phi_H)\right)\right\},\end{align}\tag{WP2}$$ vgl. Ref. 4-7. Hier funktionieren die Grünen$G_{H/L}$für hohe und niedrige Modi werden mit einem glatten Regler / Filter multipliziert, der davon abhängt$\Lambda$.

   Beachten Sie, dass$W_{\rm int}[J,\phi_L]$beinhaltet nicht die kostenlose Laufzeit$\frac{1}{2}\phi_L G_L^{-1}\phi_L$, nur der entsprechende Gegenterm. Hier führen wir den 2. Schritt nicht durch, aber wir können die Kupplungen dimensionslos machen

   $$\lambda_n~:=~g_n/\Lambda^{[g_n]}.\tag{WP3}$$ In der IR-Grenze$\Lambda\to 0$hängen die irrelevanten Kopplungen von marginalen und relevanten Kopplungen ab, während sie unabhängig von der UV-Grenze werden$\Lambda_H$. Täuschend, Gl. (AP3) kann naiv darauf hindeuten, dass die irrelevanten Kopplungen$\lambda_n$im IR aussterben, aber in der Praxis$\lambda_n$typischerweise zu einem endlichen Festkommawert fließen, während es ist$g_n=\lambda_n\Lambda^{[g_n]}\to \infty$das explodiert für$\Lambda\to 0$.

Verweise:

1. ME Peskin & DV Schroeder, Eine Einführung in QFT; Abschnitt 12.1.

2. A. Zee, QFT in Kürze, 2010; Abschnitt VI.8.

3. D. Tong, Statistische Feldtheorie ; Kapitel 3, p. 55-58.

4. MD Schwartz, QFT & das Standardmodell , 2014; Abschnitt 23.6.

5. M. Srednicki, QFT, 2007; Kapitel 29, p. 181-182. Eine PDF-Datei mit einem Vorveröffentlichungsentwurf ist hier verfügbar .

6. S. Weinberg, Quantentheorie der Felder, Bd. 1, 1995; Abschnitt 12.4.

7. J. Polchinski, Renormalisierung und effektive Lagrangianer, Nucl. Phys. B231 (1984) 269 .