Freie Quantenfeldtheorien als Fixpunkte der Wilsonschen RG

Betrachten wir die Euklidische Quantenfeldtheorie von Klein Gordon über die toroidale Raumzeit$X\simeq S^1\times \cdots\times S^1$, mit Aktion

$$S(\varphi) = \int_X \varphi(\Delta+m^2)\varphi$$

und Skalarfeld$\varphi\in C^\infty_X$, der Raum der glatten Funktionen auf$X$. Hier,$\Delta$ist der Laplace-Operator, der der standardmäßigen flachen Metrik auf dem Torus entspricht. Die Behauptung ist, dass diese Theorie unter der Wilsonschen Renormalisierungs-Halbgruppe unveränderlich ist.

Um diese Aussage genau zu formulieren, lassen Sie$C^\infty_{(a,b)}$bezeichnen die lineare Spannweite glatter Funktionen mit Eigenwert in$(a,b)$unter Anwendung von$\Delta$, und den Raum der glatten Funktionen nach den Eigenwerten des Laplace-Operators zerlegen:

$$C^\infty_{[0,\Lambda)} \simeq C^\infty_{[0, \Lambda')}\oplus C^\infty_{[\Lambda',\Lambda)}.$$

Verwendung der Formel für die Aktion der Wilsonschen Renormalisierungs-Halbgruppe$S[\Lambda]\to S[\Lambda']$auf dem Raum der Quantenfeldtheorien, wie sie in Renormierung und effektive Feldtheorie angegeben sind , haben wir z$\varphi\in C^\infty_{[0, \Lambda')}$,

$$S[\Lambda'](\varphi)=\frac{\hbar}{i}\log \bigg(\int_{\varphi^\perp \in C^\infty_{[\Lambda',\Lambda)}}d\mu^\perp \exp(iS[\Lambda](\varphi+\varphi^\perp)/\hbar)\bigg),$$

wobei wir das niederenergetische Feynman-Maß aus dem höherenergetischen Feynman-Maß via herausgerechnet haben$d\mu_\Lambda\equiv d\mu_{\Lambda'}\wedge d\mu^\perp$, wo das Feynman-Maß $d\mu_\lambda$auf einer allgemeinen Energieskala$\lambda$wird durch die Bedingung definiert

$$\int_{\varphi\in C^\infty_{[0,\lambda)}}d\mu_\lambda \exp(iS[\lambda](\varphi)/\hbar)\equiv 1.$$

Beachten Sie zunächst, dass der Betreiber$(\Delta+m^2)$liegt in der von den Operatoren erzeugten Algebra$1,\Delta$, und respektiert daher trivialerweise die Eigenraumzerlegung von$\Delta$. Daher werden die Moden des Skalarfelds entkoppelt und die Wirkung faktorisiert als

$$S[\Lambda](\varphi+\varphi^\perp)=S[\Lambda](\varphi)+S[\Lambda](\varphi^\perp),$$

und daher zerlegt das Funktionsintegral auch:

$$S[\Lambda'](\varphi)=S[\Lambda](\varphi)+\frac{\hbar}{i}\log \bigg(\int_{\varphi^\perp \in C^\infty_{[\Lambda',\Lambda)}}d\mu^\perp \exp(iS[\Lambda](\varphi^\perp)/\hbar)\bigg),$$

und daher erhält die Aktion höchstens einen konstanten Offset, der die Gesamttheorie dennoch invariant lässt. Daher muss die Massive-Klein-Gordon-Theorie und, wie es scheint, jede andere freie Theorie, die keine Niedrig- und Hochenergie-Freiheitsgrade koppelt, konform invariant sein, das heißt, invariant unter Wilsons Renormierungs-Halbgruppe. Diese Aussage scheint jedoch der Literatur zu widersprechen, also suche ich wohl nach der Quelle meines Missverständnisses.