Wilsonsche Renormalisierungsgruppe und Symmetrien der EFT

Die von der RG generierten Terme respektieren alle die Symmetrien der mikroskopischen Wirkung (obwohl man mit Anomalien vorsichtig sein muss). Aus diesem Grund neigen die Leute dazu, direkt eine effektive Aktion mit geringer Energie zu schreiben und sich nicht die Mühe zu machen, den RG-Fluss der Parameter zu berechnen.

Dies impliziert jedoch, dass Sie nicht wissen, wie sich die effektiven Parameter auf die mikroskopischen beziehen (diese Informationen können je nach Problemstellung interessant sein). Wenn man beispielsweise das Ising-Modell studiert (z. B. auf einem kubischen Gitter) und sich nur für die Physik langer Wellenlängen interessiert, kann man Berechnungen durchführen, die mit einer effektiven Aktion mit niedriger Energie beginnen, dh einem Skalar$\phi^4$Feldtheorie. Aber dann kann man nicht wissen, wie man die wirkliche Korrelationslänge oder die wirkliche Magnetisierung mit den aus der effektiven Theorie berechneten effektiven in Beziehung setzt. Auch kann man die kritische Temperatur des Modells nicht berechnen. (Die einzige Information, die man aus der effektiven Theorie ableiten kann, wenn wir nicht wissen, wie man die effektiven Parameter mit den mikroskopischen in Beziehung setzt, sind die universellen Merkmale nahe einem Phasenübergang 2. Ordnung.)

Aber zumindest im Prinzip könnte man eine RG-Berechnung durchführen, um die mikroskopische Physik mit der Makroskala in Beziehung zu setzen. Tatsächlich versagt im obigen Beispiel die störungsbedingte Wilsonsche RG (weil das Problem stark gekoppelt ist), aber man kann nicht störungsfreie Annäherungen verwenden, um genau das zu tun.

EDIT In Bezug auf die zusätzlichen Fragen.

1) Allgemein$^*$, werden alle Terme generiert (dies ist leicht zu sehen, wenn man die Diagramme zeichnet, die zu einem gegebenen Term beitragen können). Ihr Wert hängt jedoch davon ab, wohin der Fluss fließt. Wenn es in Richtung des Gaußschen Fixpunkts geht, sind alle Terme außer den quadratischen klein und von Ordnung$(\Lambda/\Lambda_0)^\Delta$, Wo$\Delta$ist die kanonische Dimension des Begriffs. Wenn es woanders hin fließt, können alle Terme groß sein.

2) Die Niedrigenergieaktion kann zusätzliche (emergierende) Symmetrien haben, aber nicht weniger Symmetrie$^{**}$. Beispielsweise hat ein Gittermodell an einem kritischen Punkt eine konforme Invarianz bei langer Wellenlänge. Oder im Kontext des Mott-Übergangs im Bose-Hubbard-Modell haben die speziellen Teilchen-Loch-Symmetriepunkte eine emergente relativistische Symmetrie (während das mikroskopische Modell nur eine Galilei-Invarianz hat).

3) Für mich ist der beste Weg, den Fluss des effektiven Potenzials zu verstehen, die nicht-perturbative/funktionale Version des RG zu lernen, wo man eine Flussgleichung für das volle Potenzial aufschreibt und man in der Lage ist, alle zu behandeln Kopplungen (auch die ``nicht-renormierbaren''). Für eine Einführung siehe arXiv:0702.365.

$^*$Einige Modelle mit bestimmten Symmetrien (z. B. SUSY) können jedoch durch ein Nicht-Renormierungstheorem geschützt werden, was bedeutet, dass das effektive Potenzial nicht renormiert wird. Daher sind die zu erwartenden Oberbegriffe in der niederenergetisch wirksamen Wirkung nicht vorhanden.

$^{**}$Dies trifft in der Tat in den meisten Fällen zu, aber nicht immer. In einem bestimmten Modell kann es vorkommen, dass eine Symmetrie während des Flusses dynamisch gebrochen wird, zum Beispiel wenn eine Singularität des effektiven Potentials entlang der RG-Trajektorie erzeugt wird (dies impliziert, dass man etwas funktionales RG macht). Während das effektive Potential in diesen seltenen Fällen bei hoher Energie eine Symmetrie aufwies, verliert es bei niedriger Energie. Ein Beispiel dafür im Zusammenhang mit dem Zufallsfeld-Ising-Modell (bei dem eine (nicht dynamische) Supersymmetrie während des Flusses verloren geht, siehe arXiv:1103.4812.