Eigenzustände eines bosonischen Feldoperators

Obwohl hier und hier verwandte Fragen diskutiert werden , bin ich immer noch verwirrt über die Eigenzustände des Feldoperators eines bosonischen Feldes

$$\hat{\phi}(\vec{x},t=0)|\phi\rangle=\phi(\vec{x})|\phi\rangle$$ Bedeutet dies, dass alle Zustände der QFT auf eine Feldkonfiguration im Raum bezogen sind? Die Zustände sollen die Vollständigkeitsrelation erfüllen $$\int d\phi(\vec{x})\,|\phi\rangle\langle\phi|=1.$$ Die Maßnahme hier bedeutet, dass wir über alle Feldkonfigurationen integrieren? Oder bedeutet es, dass wir über alle Werte integrieren, die ein Feld an Position einnehmen kann $\vec{x}$? Es muss der erste Fall sein, da ein Zustand nicht schon durch den Eigenwert in Bezug auf den Feldoperator an einer Stelle spezifiziert werden kann, richtig? Dem wäre zuzustimmen $$\langle\phi_a|\phi_b\rangle=\prod_\vec{x}\delta(\phi_a(\vec{x})-\phi_b(\vec{x})).$$ Also sollte man lieber nicht schreiben $$\prod_\vec{x}\int d\phi(\vec{x})\,|\phi\rangle\langle\phi|=1.$$

Wie würde man die Spur eines Operators aufnehmen?

$$\text{tr}\,\hat{\mathcal{O}}=\int d\phi(\vec{x}) \langle\phi|\mathcal{O}|\phi\rangle$$ oder $$\text{tr}\,\hat{\mathcal{O}}=\prod_\vec{x}\int d\phi(\vec{x}) \langle\phi|\mathcal{O}|\phi\rangle$$ oder gar etwas anderes?

Die von mir verwendeten Formeln stammen von Kapusta "Finite Temperature Field Theory Principles and Applications", p. 12+13.