Eichinvarianz für elektromagnetische Potentialobservablen in Testfunktionsform

Dies ist eine Referenzanforderung für eine Beziehung in der Quantenfeldtheorie zwischen dem elektromagnetischen Potential und dem elektromagnetischen Feld, wenn sie in Testfunktionsform dargestellt werden.$U(1)$die Eichinvarianz wird zu einer besonders einfachen Einschränkung für Testfunktionen, damit verschmierte elektromagnetische Potentialoperatoren eichinvariante Observable sind. Dies ist eine so einfache Einschränkung, dass ich denke, dass sie da draußen sein muss, aber ich habe sie nie in Lehrbüchern oder in der Literatur gesehen, vermutlich weil wir in QFT meistens nicht mit Testfunktionsräumen arbeiten; stattdessen verwenden wir Operator-bewertete Verteilungen direkt, wobei jedoch die Festsetzung von Pegeln ein ständiges Ärgernis ist.

Für die Operator-bewertete Verteilung des elektromagnetischen Potentials, verschmiert durch eine Testfunktion$f^\rho(x)$im Minkowski-Raum,$\hat A_f=\int_M \hat A_\rho(x)f^{\rho*}(x)\mathrm{d}^4x$, um eine Observable zu sein, die invariant ist unter$U(1)$Transformationen messen$\hat A_\rho(x)\rightarrow\hat A_\rho(x)-\partial_\rho\alpha(x)$, das verlangen wir$\int_M \partial_\rho\alpha(x)f^{\rho*}(x)\mathrm{d}^4x$muss für alle Skalarfunktionen Null sein$\alpha(x)$.

Teileweise Integration über eine Region$\Omega$im Minkowski-Raum erhalten wir in Bezug auf Differentialformen

$$\int_\Omega d\alpha\wedge(\star f^*)=\int_{\partial\Omega}\alpha\wedge(\star f^*)-\int_\Omega \alpha\wedge(d\!\star\! f^*),$$ was für groß genug null sein wird $\Omega$, und damit für den gesamten Minkowski-Raum, für jede glatte Testfunktion $f^\rho(x)$die kompakt unterstützt und divergenzfrei ist, $d\!\star\! f=0$. [Wenn wir die Eichtransformationsfunktion beschränken $\alpha(x)$mit zunehmendem Abstand in keiner Richtung schneller als polynomial zuzunehmen, wird für die Testfunktion ausreichen $f^\rho(x)$Schwartz und divergenzfrei sein.]

Wir haben also bewiesen:

Theorem: Das verschmierte elektromagnetische Potential$\hat A_f$ist ein$U(1)$Eichinvariante beobachtbar, wenn die Testfunktion$f^\rho(x)$ist glatt, von kompakter Abstützung und divergenzfrei.

Der divergenzfreie Zustand an$f^\rho(x)$sorgt dafür, dass der Kommutator für die mit dem elektromagnetischen Potential verbundenen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sorgt$\hat A_f=\mathbf{\scriptstyle a}^{\,}_{f^*}+\mathbf{\scriptstyle a}^{\dagger}_f$,

$$[\mathbf{\scriptstyle a}^{\,}_f,\mathbf{\scriptstyle a}^\dagger_g]=-\hbar\int \tilde f^*_\rho(k)\tilde g^\rho(k)2\pi\delta(k_\nu k^\nu)\theta(k_0)\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4},$$ positiv semidefinit ist (was notwendig ist, damit wir einen Vakuumsektor-Hilbert-Raum konstruieren können), und das, weil $\delta f=\delta g=0$wir können im Minkowski-Raum konstruieren, $f=\delta F$, $g=\delta G$, wo $F$und $G$sind Bivektorpotentiale für die elektromagnetischen Potentialtestfunktionen $f$und $g$.

Bezüglich$F$und$G$, wir können schreiben$a^{\,}_F=\mathbf{\scriptstyle a}^{\,}_{\delta F}$,$a_G^\dagger=\mathbf{\scriptstyle a}^\dagger_{\delta G}$, die den elektromagnetischen Feldkommutator erfüllen

$$[a^{\,}_F,a_G^\dagger]=-\hbar\int k^\alpha\tilde F_{\alpha\mu}^*(k) k^\beta\tilde G_\beta{}^\mu(k)2\pi\delta(k_\nu k^\nu)\theta(k_0)\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}.$$ Folglich können wir, indem wir die übliche Beziehung umkehren, weil wir mit Testfunktionen statt direkt mit Quantenfeldern arbeiten, Testfunktionen für das elektromagnetische Feld als Potentiale für Testfunktionen für das elektromagnetische Potential betrachten.

Aufgrund der Einschränkung, dass elektromagnetische Potenzialtestfunktionen eine kompakte Unterstützung haben müssen (oder dass Eichtransformationen eingeschränkt werden müssen, wenn elektromagnetische Potenzialtestfunktionen als Schwartz angenommen werden), sind elektromagnetische Potenzialobservablen weniger allgemein als elektromagnetische Feldobservablen, wenn elektromagnetische Feldtestfunktionen verwendet werden B. Schwartz (wie am häufigsten angenommen wird) oder gleichwertig sein, wenn davon ausgegangen wird, dass elektromagnetische Feldtestfunktionen glatt sind und eine kompakte Unterstützung haben.

Also Referenzen?

BEARBEITEN (24. Oktober 2011): Unter Beachtung der Antwort von user388027 und meines Kommentars wäre ein anständiger Hinweis darauf, welche Einschränkungen herkömmlicherweise Messtransformationen auferlegt werden, willkommen. Ich würde insbesondere auf eine Begründung für die Einschränkungen hoffen, unabhängig davon, welchen theoretischen Standpunkt die Referenz einnimmt.