Wie findet man Leiteroperatoren, die einen Hamiltonoperator in QFT diagonalisieren?

Ich habe einige Probleme zu verstehen, wie man im Kontext von QFT einen Hamilton-Operator diagonalisieren kann$H$durch die Einführung von Leiteroperatoren$a$Und$a^\dagger$(Ich habe Probleme zu verstehen, wie man diese Operatoren genau erhalten soll).

Soweit ich weiß, bedeutet das "Diagonalisieren" eines Hamilton-Operators, Leiteroperatoren zu finden$a_p$Und$a_p^\dagger$die der kanonischen Vertauschungsrelation gehorchen

$$[a_p,a_k^\dagger]\propto \delta(k-p)\quad\text{and}\quad [a_k,a_p]=[a^\dagger_k, a^\dagger_p]=0$$ und umschreiben$H$in Bezug auf diese Leiteroperatoren so dass $$H(a,a^\dagger)a^\dagger\vert0\rangle\propto a^\dagger\vert0\rangle\quad \text{and}\quad H(a,a^\dagger)a\vert n\rangle\propto a\vert n\rangle.$$

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Nehmen wir an, wir wollen den Hamiltonoperator des komplexen Skalarfeldes diagonalisieren$\phi$(die wir aus dem Lagragian erhalten haben$\mathcal{L}$), das ist

$$H=\int d^3x\left(\pi^\dagger \pi +\nabla\phi^\dagger\nabla\phi+m^2\phi^\dagger\phi\right).$$ Dieser Hamiltonoperator ist eine Funktion von$\phi$Und$\phi^\dagger$(da man ausdrücken kann$\pi^\dagger=\dot\phi^\dagger$Und$\pi=\dot\phi$in Bezug auf diese beiden). Also was ich jetzt suche sind$a(\phi,\pi^\dagger)$,$a^\dagger(\phi,\pi^\dagger)$,$b(\phi,\pi^\dagger)$Und$b^\dagger(\phi,\pi^\dagger)$(zwei Gruppen von Operatoren seit$\phi$Und$\phi^\dagger$sind unabhängig voneinander).

Jetzt gehen die meisten (alle, die ich bisher gesehen habe) Bücher / Vorlesungsunterlagen einfach davon aus, dass wir sie haben

$$\begin{align*} a_p&=\int d^3 x e^{ipx} (\omega_p \phi(x)+ i\pi^\dagger(x))\quad a_p^\dagger=\int d^3 x e^{ipx} (\omega_p \phi^\dagger(x)- i\pi(x))\\ b_p&=\int d^3 x e^{ipx} (\omega_p \phi^\dagger(x)+ i\pi(x))\quad b_p^\dagger=\int d^3 x e^{ipx} (\omega_p \phi(x)- i\pi^\dagger(x)) \end{align*}$$ und dann zeigen, dass sie erfüllen, was wir wollen. Aber wie kommen wir zu diesen Operatoren? Ich habe diesen SE-Beitrag gefunden , in dem eine Methode vorgeschlagen wird, die ich aber irgendwie nicht auf dieses Beispiel anwenden kann. Wenn ich es richtig verstanden habe, sollte ich davon ausgehen, dass wir das haben

$$a = \alpha \phi + \beta \pi^\dagger,\quad a^\dagger = \alpha^* \phi^\dagger + \beta^*\pi,$$ aber was ist mit dem zweiten Paar Leiteroperatoren und wie kann man sie vom ersten unterscheiden? Ich bin mir wirklich nicht sicher, ob das hier funktioniert...

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TL;DR: Ich würde gerne wissen, wie man Leiteroperatoren finden kann, die einen gegebenen Hamiltonoperator diagonalisieren$H(\phi,\pi)$konkret.