Wie definiert man den Hamilton-Operator von QFT streng als
Im Moment ignoriere ich die Tatsache, dass selbst kann schlecht definiert sein, da es sich um Produkte von Verteilungen handelt. Nehmen wir das an ist eine richtig definierte Operatorwertverteilung.
Erstens: Wie bildet man das Integral einer solchen Verteilung? Während man so etwas wie ein Integral nehmen könnte Wenn hatte kompakte Unterstützung und Bei dieser Unterstützung gibt es keine Garantie dafür, dass dies im Allgemeinen möglich ist. Ist es beispielsweise möglich, die Operatorwertverteilung als Grenzwert einer Folge von Operatorwertfunktionen zu definieren und etwas Ähnliches zu nehmen?
unter der Annahme, dass der Grenzwert mit dem Integral kommutieren kann. Was wäre das hier verwendete Integral, ist es eines dieser projektionsbewerteten Maße?
Alternativ kann ich es als definieren
für eine Testfunktion gleich auf einem immer größer werdenden kompakten Träger?
Hier ist das große Ganze:
In vielen Fällen (nichtabelsche chirale Eichtheorien wie das Standardmodell) wissen wir noch nicht, wie wir den Hamiltonoperator überhaupt streng definieren sollen.
In den meisten Fällen, in denen wir wissen , wie man den Hamilton-Operator rigoros definiert, beinhaltet die Definition das Ersetzen des kontinuierlichen Raums durch ein diskretes (und endliches) Gitter.
Nur in Ausnahmefällen (wie Modellen mit quadratischen Lagrange-Operatoren) wissen wir, wie man Dinge streng definiert, ohne auf ein räumliches Gitter zurückzugreifen. Da dies nur in Ausnahmefällen (meist langweilig) funktioniert, gehe ich hier nicht darauf ein.
Um es klar zu sagen, wenn ich hier sage "definiere den Hamilton-Operator", meine ich wirklich "definiere die gesamte QFT, einschließlich der Angabe eines wohldefinierten Ausdrucks für den Hamilton-Operator in Bezug auf die Feldoperatoren".
In einer gitterbasierten Hamilton-Formulierung der QFT hat der Raum eine endliche Anzahl von Punkten, sodass die in der Frage geäußerten Bedenken verschwinden. Die Zeit bleibt kontinuierlich. Eine Möglichkeit, sich der Formulierung zu nähern, besteht darin, den üblichen kanonischen Quantisierungsprozess zu verwenden, beginnend mit einem klassischen Lagrange-Operator, in dem der Raum bereits diskretisiert wurde (so dass räumliche Gradienten durch endliche Differenzen und Integrale durch Summen ersetzt werden). Die Unordnung der Formulierung hängt von den beteiligten Feldern ab:
Die Formulierung ist einfach, wenn nur skalare Felder beteiligt sind.
Wenn es sich um Eichfelder handelt, wird es relativ einfach im zeitlichen Eichfeld (in dem das Eichfeld hat kein Komponente), wenn wir Elemente der Lie- Gruppe (anstelle der Lie-Algebra) verwenden, um das Eichfeld darzustellen. Ein Nachteil dieser Formulierung ist, dass der resultierende Hamiltonoperator im Eichfeld niemals nur quadratisch ist, auch nicht für a Eichfeld wie das EM-Feld. Dies ist ein Hindernis für Berechnungen in geschlossener Form. Übrigens, diese „compact "Version der Elektrodynamik enthält automatisch magnetische Monopole (wenn der Raum 3-dimensional ist), die in der Kontinuumsgrenze entkoppeln.
Wenn Dirac-Spinor-Felder beteiligt sind, wird die Formulierung entmutigend chaotisch, aber es ist machbar.
Wenn chirale (Weyl-)Fermionen beteiligt sind, wissen wir im allgemeinen Fall, dass ihre Wechselwirkungen mit den Eichfeldern unter räumlicher Reflexion nicht unveränderlich sind, noch nicht einmal, wie das geht.
Es gibt auch eine rigorose Version der "Pfadintegral"-Formulierung, in der die Raumzeit durch ein diskretes Gitter ersetzt wird. Ähnliche Kommentare gelten in diesem Fall, und die Gitter-Hamilton-Formulierung kann durch Berücksichtigung der kontinuierlichen Zeitgrenze wiederhergestellt werden. Dies ist ein alternativer Ansatz zum Ausarbeiten der Details der Gitter-Hamilton-Formulierung, und das Ergebnis kann mit dem oben erwähnten kanonischen Quantisierungsansatz überprüft werden. Sie sollten miteinander übereinstimmen, zumindest Modulo-Differenzen, die im Kontinuumslimit vernachlässigbar werden sollten.
Manuelle Berechnungen werden selten mit einer expliziten gitterbasierten Formulierung durchgeführt, da dies schnell unerschwinglich chaotisch wird. Es ist jedoch immer noch wertvoll zu verstehen, wie ein Modell auf einem Gitter rigoros definiert werden kann, denn wann immer wir mit naiven Manipulationen im kontinuierlichen Raum (wie divergente Feynman-Integrale usw.) in Schwierigkeiten geraten, können wir unsere Schritte ausgehend von einem wohldefinierten Gitter zurückverfolgen Formulierung, um genau zu verstehen, was schief gelaufen ist und wie es behoben werden kann – zumindest konzeptionell.