Also möchte ich meinen Hamiltonian (es ist ein bosonischer Hamiltonian) diagonalisieren, der lautet:
Meine Klasse hat dieses Material nicht behandelt, daher weiß ich nicht wirklich, wie ich vorgehen soll. Ich wäre dankbar für Literatur, die diese Themen behandelt, und ein Problembuch mit Lösungen wäre auch großartig.
Was ich versuchte, war, meinen Hamiltonian in Matrixform zu schreiben, was wäre:
Und dann diagonalisieren, Eigenzustände finden usw. Ist das der richtige Weg?
Das Diagonalisieren des Hamilton-Operators bedeutet, dass Sie ihn in die Form bringen möchten , und das ist ziemlich offensichtlich sollte eine lineare Kombination von sein Und , Und sollte die kanonische Kommutierung von Vernichtungsoperatoren erfüllen, nämlich .
Jetzt schreiben wir (dies wird übrigens die Bogoliubov-Transformation genannt). Die Bedingung führt zu . Lassen Sie uns expandieren :
Deshalb
Zusammen mit , haben wir drei Gleichungen für drei Variablen ( ). Tatsächlich kann man in diesem Fall davon ausgehen Und sind beide echt. Der Rest ist nur Algebra.
Das Diagonalisieren eines Operators bedeutet, seine Eigenzustände zu finden.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann Ihr Hamiltonian geschrieben werden als
Es müssen ein paar Fehler in Ihrer Gleichung sein, wenn Sie das in einem zweiten Quantisierungsvorgang wirklich meinen. Erstens gibt es keinen General Operator, sondern Sie haben einen für jeden Impuls , das ist Erzeuge und zerstöre (in Anführungszeichen) Teilchen mit Impuls ; es gibt kein in Ihrem anfänglichen Hamilton-Operator, während die allgemeine Form sein muss .
Zweitens: Je nachdem, ob Ihre Teilchen Fermionen oder Bosonen sind, verhalten sich die entsprechenden Operatoren unterschiedlich: zum Beispiel für Fermionen.
Wenn der Hamilton-Operator auf einen Unterraum des Fock-Raums mit einer bestimmten Anzahl von Teilchen wirkt , dann würden die letzten beiden Terme in Ihrer Gleichung die Aktion auf bringen , daher wird die rechte Seite darin leben , was nicht wirklich Sinn macht, da keine Vorschrift gegeben wird, wie Elemente in verschiedenen Hilbert-Räumen zu summieren sind (die letzten beiden Stücke).
Entweder geben Sie ein genaues Rezept an, um das oben Genannte zu erreichen, oder es müssen Fehler an anderer Stelle in der Formel sein, wie darauf hingewiesen wurde; versuchen Sie, mehr Kontext zu geben, damit man verstehen kann, was Sie meinen. Vorgeschlagene Literatur zum Schreiben eines beliebigen Hamilton-Operators in der zweiten Quantisierung und zum Finden der entsprechenden Lösungen ist beispielsweise:
Wie wäre es, wenn Sie nur die Matrixdarstellung verwenden.
https://en.wikipedia.org/wiki/Creation_and_annihilation_operators#Matrix_representation
Sie können eine beliebige Anzahl von Bosonen von 0 bis unendlich haben. Das wird Ihre Basis sein, und Ihre Wellenfunktion wird als Vektor dargestellt, in dem Element 0 die Wahrscheinlichkeitsamplitude für 0 Quanten angibt, Element 1 die Amplitude für 1 Quant, 2 für 2 Quanten usw. im System angibt.
Rechnen mit Matrizen ist einfach:
N = 1000;
a = zeros(N);
for i=1:N-1
a(i,i+1) = sqrt(i);
end
H = 10*a*a' + 5 / 2 * (a*a+a'*a');
eig(N)
Haftungsausschluss: Ich habe fast immer mit Fermionen gearbeitet, mit Ausnahme einiger Quantenkurse vor 8 Jahren.
Caims
Meng Cheng
Caims
geniert
Meng Cheng
Sebastian Riese
geniert
Sebastian Riese
geniert
Meng Cheng
Sebastian Riese
geniert
Sebastian Riese
geniert