Operator-Produkterweiterung in Massless 2D QED

In Peskin & Schroeder Kapitel 19 Seite 656, wo die axiale Stromanomalie der masselosen 2D-QED diskutiert wird, gehen die Autoren von:

(19.25) ψ ¯ ( X + ε / 2 ) Γ ( X ) ψ ( X − ε / 2 )
(Wo Γ ( X ) ist irgendein Operator) zu:
(19.27) ψ ¯ ( X + ε / 2 ) Γ ( X ) ψ ( X − ε / 2 )
(wo jetzt die beiden fermionischen Felder kontrahiert sind) zu:
(19.27) T R [ Γ ( X ) S F ( ε ) ]
(Wo S F ( X ) ist der Fermionpropagator zwischen einem Raumzeitintervall X )

Ich verstehe diese Übergänge wirklich nicht und wäre für jede Hilfe dankbar, wie man sie macht. Insbesondere:

1) Wird implizit verstanden (von Anfang an dieser Ableitung), dass der axiale Strom tatsächlich zeitlich geordnet ist (damit wir Wicks Theorem anwenden können) und immer davon ausgehen, dass er im Vakuum arbeitet (so dass normale geordnete Terme verschwinden) ?

2) Warum wirkt sich die Kontraktion der beiden Fermionfelder über die Γ Operator zu einer Spur führen, als ob wir eine Schleife hätten?

Beachten Sie, dass die Spur unter zyklischer Permutation unveränderlich ist, dies sollte Ihnen die Antwort auf Ihre zweite Frage geben.
Anmerkungen zur Frage (v1): Die erste und zweite Gl. gleich aussehen. Die zweite und dritte Gl. Nummern sind gleich. Ist das Absicht?
@Qmechanic, danke für deinen Kommentar. Die erste und zweite Gleichung sehen gleich aus, weil ich nicht wusste, wie man Kontraktion in MathJax bezeichnet, aber ich schrieb in Worten, dass die Fermion-Felder (plötzlich) in der zweiten Gleichung kontrahiert sind. Die dritte Gleichung hat tatsächlich dieselbe Nummer wie die zweite Gleichung in P&S, weil diese Gleichung zwei Gleichheitszeichen hat, aber innerhalb dieser Gleichung mit derselben Nummer findet ein Übergang statt .
Zur ersten Frage: Es gibt 3 gleichwertige Antworten. a) Der aktuelle Operator ist ein lokaler Operator, der nur an einem einzigen Punkt der Raumzeit definiert ist, daher spielt es keine Rolle, ob Sie zeitlich geordnete Punkte betrachten, unabhängig von Ihrem Regularisierungsverfahren. b) Die Zeitreihenfolge erscheint tatsächlich in der Operator-Produkterweiterung, die Sie im Titel erwähnen. Es ist daher in Ordnung, die divergierendsten zeitgeordneten Kontraktionen für den Beitrag auszuwählen. c) alle grünen Funktionen, zeitlich geordnet oder nicht, teilen das gleiche abweichende Verhalten (da der Unterschied in der ich ϵ Verschreibung)

Antworten (1)

Für Ihr zweites Problem kann der Propagator mit seinen Indizes als geschrieben werden

( S F ) a β ( X − j ) = ⟨ T { ψ a ( X ) ψ ¯ β ( j ) } ⟩

Dann haben wir

⟨ T { ψ ¯ ( X ) Γ ψ ( j ) } ⟩ = Γ a β ⟨ T { ψ ¯ a ( X ) ψ β ( j ) } ⟩ = − Γ a β ( S F ) β a ( X − j ) = − T R [ Γ S F ( X − j ) ]

Operator-Produkterweiterung in Massless 2D QED
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