Haben Gesamtableitungen etwas mit zentralen Erweiterungen zu tun?

Question

Haben Gesamtableitungen etwas mit zentralen Erweiterungen zu tun?

Physik
Lügen-Algebra
Gruppentheorie
Noethers-Theorem
Galileische Relativität
lagrangescher Formalismus

Benutzer1379857

Ich habe mich kürzlich für die Galileische Gruppe und ihre zentrale Erweiterung interessiert und bin auf einen Artikel „ Quantization on a Lie group: Higher-order Polarizations “ von Aldaya, Guerrero und Marmo gestoßen.

Bevor ich meine Frage stelle, werde ich das Thema kurz auffrischen. Stellen Sie sich ein nichtrelativistisches Teilchen vor, das sich in einer Dimension bewegt. Der Lagrange ist

L = \frac{1}{2} M {\dot{X}}^{2} .

$L = \frac{1}{2} m \dot x^2.$

Ein Galilean Boost sendet

X \mapsto X + v T

$x \mapsto x + vt$ oder unendlich,

δ X = ε T .

$\delta x = \varepsilon t.$ Wenn

ε

$\varepsilon$ ist dann eine Konstante

δ L = M \dot{X} ε = \frac{D}{D T} (M X ε)

$\delta L = m \dot x \varepsilon = \frac{d}{dt} ( m x \varepsilon)$ dh,

L

$L$ Änderungen durch eine totale Ableitung. Dies bedeutet, dass wir diese Symmetrievariation verwenden können, um eine Erhaltungsgröße nach dem Satz von Noether zu finden. (In dem Artikel, auf den ich mich bezog, die Tatsache, dass

L

$L$ Änderungen durch eine Gesamtableitung, die als "Semi-Invarianz" bezeichnet wird

L

$L$ .)

Wenn wir jetzt sagen $\varepsilon = \varepsilon(t)$ zeitabhängig ist, können wir das Noether-Verfahren durchführen, um die zugehörige Erhaltungsgröße zu finden. Also lass uns das tun. Nun das $\varepsilon$ ist zeitabhängig wir haben

δ L = M \dot{X} \frac{D}{D T} (ε T) = M \dot{X} ε + M \dot{X} \dot{ε} T .

$\delta L = m \dot x \frac{d}{dt} (\varepsilon t) = m \dot x \varepsilon + m \dot x \dot \varepsilon t.$

Über Lösungen der Bewegungsgleichungen haben wir

\begin{aligned} 0 & = δ S \\ = \int D T δ L \\ = \int D T (M \dot{X} ε + M \dot{X} \dot{ε} T) \\ = \int D T ε \frac{D}{D T} (M X - M \dot{X} T) \end{aligned}

$\begin{align*} 0 &= \delta S \\ &= \int dt \delta L \\ &= \int dt \big( m \dot x \varepsilon + m \dot x \dot \varepsilon t \big) \\ &= \int dt \ \varepsilon \frac{d}{dt} \big( mx - m\dot x t\big) \end{align*}$

Weil $\delta S = 0$ egal was $\varepsilon(t)$ ist, wir wissen, dass die "Boost-Ladung"

M \dot{X} T - M X

$m \dot x t - mx$ wird konserviert. Oft wird dies umgeschrieben als

P T - M X .

$p t - mx.$ Diese konservierte Größe wirkt seltsam und ihre physikalische Interpretation ist unklar. Ich denke, der beste Weg, sich das vorzustellen, ist, dass sich Ihr Teilchen garantiert mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt, wenn Ihr System eine Galileische Boost-Invarianz hat. (Buchstäblich gesprochen,

m x - p t

$mx - pt$ Ist

m

$m$ mal die Anfangsposition deines Teilchens an

t = 0

$t = 0$ . Dass die Anfangsposition auf diese einfache Weise berechnet werden kann, liegt daran, dass die Geschwindigkeit eine Konstante ist

p / m

$p/m$ .)

Nun, Noethers Theorem ist keine Einbahnstraße. Im Lagrange-Formalismus können Sie Symmetrien verwenden, um Erhaltungsgrößen zu berechnen. Im Hamilton-Formalismus "erzeugen" diese konservierten Größen die ursprüngliche Symmetrie. Die konservierte Menge $Q$ erzeugt die durch gegebene Symmetrie

δ Q_{ich} = \frac{\partial Q}{\partial P_{ich}} δ P_{ich} = - \frac{\partial Q}{\partial Q_{ich}} .

$\delta q_i = \frac{\partial Q}{\partial p_i} {\hspace 1 cm} \delta p_i = -\frac{\partial Q}{\partial q_i}.$

Definieren Sie die "Boost-Ladung" $K$ auf Phasenraum als

K = P T - M Q .

$K = p t - m q.$ Dies generiert

δ Q = \frac{\partial K}{\partial P} = T δ P = - \frac{\partial K}{\partial Q} = M

$\delta q = \frac{\partial K}{\partial p} = t{\hspace 1 cm} \delta p = -\frac{\partial K}{\partial q} = m$ das sind ja die infinitesimalen änderungen an

q

$q$ Und

p

$p$ durch einen Schub.

Die Boost-Ladung $K$ hat eine interessante Beziehung zum Übersetzungsgenerator $p$ (das Momentum). Beachten Sie, dass die Poisson-Klammer der beiden die Konstante ist $m$ .

{P, K} = M

$\{p, K\} = m$ Die Galileische Gruppe ist die Gruppe der Raumtranslationen, Rotationen, Zeittranslationen und Boosts (alle Symmetrien der nichtrelativistischen Mechanik). Ihre Lie-Algebra hat die zentrale Erweiterung, wie oben geschrieben. Für das Quantenteilchen hinterlässt das Durchführen einer Translation, eines Boosts, der inversen Translation und des inversen Boosts eine konstante Phase, die proportional zu ist

m

$m$ . (Dies kann auch als Grenzfall der Poincare-Alegbra angesehen werden,

[K_{i}, P_{i}] = P_{0}

$[K_i, P_i] = P_0$ , Wo

P_{0}

$P_0$ ist die Energie. Im

v ≪ c

$v \ll c$ Grenze,

P_{0} = m

$P_0 = m$ .)

Okay, die Präambel ist jetzt vorbei, hier ist meine Frage. In dem Artikel, auf den ich oben verlinkt habe, scheinen sie zu implizieren, dass die "Semi-Invarianz" von Boosts (das $L$ Änderungen durch eine totale Ableitung und nicht durch $0$ ) hängt irgendwie mit der zentralen Anklage zusammen, aber ich kann nicht herausfinden, ob ein konkreter Grund angegeben wird.

Weiß jemand, ob es eine Beziehung zwischen Symmetrien gibt, die sich ändern? $L$ durch eine Gesamtableitung und Zentralgebühren?

Antworten (2)

Haben Gesamtableitungen etwas mit zentralen Erweiterungen zu tun?

Benutzer1379857 · Answer 1

Aha. Ich habe die Antwort herausgefunden, und sie ist sehr erfreulich. (Die Antwort ist ja , totale Derivate haben alles mit zentralen Erweiterungen zu tun.) Lustigerweise geht es auf eine Frage zurück, die ich vor einiger Zeit gestellt habe.

In dieser Frage zeige ich das unter der winzigen Transformation, die durch eine konservierte Größe erzeugt wird $Q$ (was genügt $\{Q, H\} = 0$ ), der Lagrange $L$ wird sich ändern

δ L = \frac{D}{D T} (P_{ich} \frac{\partial Q}{\partial P_{ich}} - Q) .

$\delta L = \frac{d}{dt} \Big( p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} - Q\Big).$ (Der wiederholte Index

i

$i$ wird implizit von summiert

1

$1$ Zu

N

$N$ .) Also, wenn

Q

$Q$ erfüllt

Q = P_{ich} \frac{\partial Q}{\partial P_{ich}}

$Q = p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i}$ Dann

δ L = 0

$\delta L =0$ . In Ermangelung eines besseren Wortes nennen wir jede Funktion

Q

$Q$ die Erfüllung der obigen Gleichheit eine "invariante" Funktion, weil es geht

L

$L$ unveränderlich. Inzwischen, wenn

Q \neq P_{ich} \frac{\partial Q}{\partial P_{ich}}

$Q \neq p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i}$ Dann

δ L

$\delta L$ ist eine totale Ableitung und nicht invariant.

(Ich habe diesen Begriff "invariant" definiert, um die vorliegende Frage zu lösen. "Invariante" Funktionen scheinen einige nette Eigenschaften zu haben. Weiß jemand, ob es einen richtigen Namen für diese Funktionen gibt und ob mehr darüber bekannt ist? ihnen?)

Invariante Funktionen sind immer von der Form

Q = P_{ich} F_{ich} (Q)

$Q = p_i f_i(q)$ für beliebige Ortsfunktionen

f_{i} (q)

$f_i(q)$ . Schwung

(Q = p)

$(Q = p)$ und Drehimpuls

(Q = p_{1} q_{2} - p_{2} q_{1})

$(Q = p_1 q_2 - p_2 q_1)$ sind Beispiele für invariante Funktionen. Ein zufälliger Hamiltonian

(Q = H)

$(Q = H)$ ist nicht invariant, und in diesem Fall

δ L = \frac{d}{d t} L

$\delta L = \tfrac{d}{dt} L$ , wie erwartet.

Lassen Sie mich nun einen kurzen Überblick über die symplektische Geometrie geben. Für jede Menge $Q$ , können wir daraus ein Hamiltonsches Vektorfeld machen $X_Q$ , definiert zu sein

X_{Q} = - \frac{\partial Q}{\partial P_{ich}} \partial_{Q_{ich}} + \frac{\partial Q}{\partial Q_{ich}} \partial_{P_{ich}} .

$X_Q = -\frac{\partial Q }{\partial p_i} \partial_{q_i} + \frac{\partial Q }{\partial q_i} \partial_{p_i}.$ Es befriedigt

X_{Q} = {Q, \cdot} .

$X_Q = \{ Q, \cdot \}.$ Aus der Jacobi-Identität,

{{G, H}, F} + {{H, F}, G} + {{F, G}, H} = 0

$\{ \{g, h\}, f \} + \{ \{h, f\}, g \} + \{ \{f, g\}, h \} = 0$ die umgestellt werden können

{{G, H}, F} = {G, {H, F}} - {H, {G, F}}

$\{ \{g, h\}, f \} = \{g, \{h, f\} \} - \{ h, \{g, f\} \}$

X_{{G, H}} (F) = X_{G} (X_{H} (F)) - X_{H} (X_{G} (F))

$X_{ \{g, h\} } (f) = X_g (X_h (f) ) - X_h (X_g (f))$

X_{{G, H}} = [X_{G}, X_{H}] .

$X_{ \{g, h\} } = [X_g, X_h].$ So

Q \mapsto X_{Q}

$Q \mapsto X_Q$ ist ein Lie-Algebra-Homomorphismus, bei dem die Poisson-Klammer an die Lie-Klammer gesendet wird. Beachten Sie, dass eine konstante Funktion an gesendet wird

0

$0$ Vektorfeld, das der Ursprung dafür ist, wie die Lie-Algebra der Vektorfelder zentral erweitert wird.

Wir definieren die symplektische Form als sein

ω = D Q_{ich} \land D P_{ich} .

$\omega = d q_i \wedge d p_i.$ Beachten Sie, dass

ω (X_{F}, \cdot) = D F

$\omega(X_f, \cdot) = df$ und deshalb

ω (X_{F}, X_{G}) = {F, G} .

$\omega(X_f, X_g) = \{f, g\}.$

Okay, die Überprüfung ist beendet. Was hat das mit unseren "invarianten" Funktionen zu tun? Beachten Sie, dass die 1-Form

θ = P_{ich} D Q_{ich}

$\theta = p_i d q_i$ erfüllt

ω = - D θ .

$\omega = - d \theta.$ Es wird daher das "symplektische Potential" genannt. Seine Bedeutung für unsere Geschichte ist die

\begin{aligned} θ (X_{Q}) & = P_{ich} D Q_{ich} (- \frac{\partial Q}{\partial P_{J}} \partial_{Q_{J}} + \frac{\partial Q}{\partial Q_{J}} \partial_{P_{J}}) \\ = - P_{ich} \frac{\partial Q}{\partial P_{ich}} \end{aligned}

$\begin{align*} \theta (X_Q) &= p_i dq_i \big( -\frac{\partial Q }{\partial p_j} \partial_{q_j} + \frac{\partial Q }{\partial q_j} \partial_{p_j} \big) \\ &= - p_i \frac{\partial Q }{\partial p_i} \end{align*}$ Daher können wir sehen, dass invariante Funktionen erfüllen

Q = - θ (X_{Q}) .

$Q = - \theta (X_Q).$

Lassen Sie uns nun über zentrale Erweiterungen sprechen. Wie in dieser anderen Frage besprochen , $\omega(X_f, X_g)$ , an beliebiger Stelle ausgewertet $m_0$ , gibt uns die zentrale Erweiterung von Vektorfeldern zurück zu Funktionen im Phasenraum. Die Zweideutigkeit bei der Auswahl $m_0$ spiegelt die Mehrdeutigkeit des Hinzufügens "der Grenze eines 1-Kozyklus zu unserer zentralen Erweiterung" wider, dh einer linearen Funktion $b([X_f, X_g])$ . Das ist weil

\begin{aligned} ω ([X_{F}, X_{G}], \cdot) & = ω (X_{{F, G}}, \cdot) \\ = D ({F, G}) \end{aligned}

$\begin{align*} \omega( [X_f, X_g], \cdot ) &= \omega( X_{\{f, g\} }, \cdot ) \\ &= d (\{f, g\} ) \end{align*}$ und so

\begin{aligned} B ([X_{F}, X_{G}]) & = \int_{M_{0}}^{M_{1}} ω ([X_{F}, X_{G}], \cdot) \\ = \int_{M_{0}}^{M_{1}} D ({F, G}) \\ = {F, G} |_{M_{1}} - {F, G} |_{M_{0}} \\ = ω (X_{F}, X_{G}) |_{M_{1}} - ω (X_{F}, X_{G}) |_{M_{0}} \end{aligned}

$\begin{align*} b([X_f, X_g]) &= \int_{m_0}^{m_1} \omega( [X_f, X_g], \cdot ) \\ &= \int_{m_0}^{m_1}d (\{f, g\} ) \\ &= \{f, g\}\biggr\rvert_{m_1} - \{f, g\}\biggr\rvert_{m_0} \\ &= \omega(X_f, X_g)\biggr\rvert_{m_1} - \omega(X_f, X_g)\biggr\rvert_{m_0} \end{align*}$ wie gewünscht.

Behauptung: Wenn $f$ Und $g$ sind invariante Funktionen, dh sie erfüllen

F = - θ (X_{F}) G = - θ (X_{G}),

$f = - \theta(X_f) \hspace{1 cm} g = - \theta(X_g),$ Dann

{F, G}

$\{f, g\}$ ist ebenfalls eine invariante Funktion.

Beweis 1 (für Babys): Wir wissen, dass wir schreiben können

F = P_{ich} F_{ich} (Q) G = P_{ich} G_{ich} (Q)

$f = p_i f_i(q) \hspace {1 cm} g = p_i g_i(q)$ für einige Funktionen

f_{i} (q)

$f_i(q)$ Und

g_{i} (q)

$g_i(q)$ die nur Funktionen von sind

q

$q$ . Eine einfache Rechnung ergibt

{F, G} = P_{ich} (F_{ich}^{'} G_{ich} - F_{ich} G_{ich}^{'}) .

$\{f, g\} = p_i (f_i' g_i - f_i g_i').$ Weil

(f_{i}^{'} g_{i} - f_{i} g_{i}^{'})

$(f_i' g_i - f_i g_i')$ ist nur eine Funktion von

q

$q$ , wir können das sehen

{f, g}

$\{f, g\}$ ist auch unveränderlich.

Beweis 2 (für Erwachsene): Verwendung des koordinatenfreien Ausdrucks für die äußere Ableitung,

\begin{aligned} {F, G} & = ω (X_{F}, X_{G}) \\ = - D θ (X_{F}, X_{G}) \\ = - (X_{F} (θ (X_{G})) - X_{G} (θ (X_{F})) - θ ([X_{F}, X_{G}])) \\ = X_{F} (G) - X_{G} (F) + θ ([X_{F}, X_{G}]) \\ = 2 {F, G} + θ ([X_{F}, X_{G}]) \end{aligned}

$\begin{align*} \{f, g\} &= \omega(X_f, X_g) \\ &= - d \theta (X_f, X_g) \\ &= - \Big( X_f (\theta(X_g) ) - X_g (\theta(X_f)) - \theta([X_f, X_g]) \Big) \\ &= X_f(g) - X_g(f) + \theta([X_f, X_g]) \\ &= 2 \{f, g\} + \theta([X_f, X_g]) \end{align*}$ was impliziert

{F, G} = - θ ([X_{F}, X_{G}]) = - θ (X_{{F, G}})

$\{f, g\} = - \theta([X_f, X_g]) = - \theta(X_{\{f, g\} })$ zeigt

{f, g}

$\{f, g\}$ ist wie gewünscht unveränderlich.

Behauptung: Wenn $f$ Und $g$ sind dann invariante Funktionen $\omega(X_f, X_g)$ kann als eine lineare Funktion von geschrieben werden $[X_f, X_g]$ , und ist daher die "Grenze eines 1-Kozyklus" und daher eine triviale zentrale Erweiterung. (DESHALB ist die zentrale Erweiterung zweier invarianter Funktionen (Funktionen, die sich nicht ändern $L$ durch eine totale Ableitung) ist immer trivial, wie ich vermutete!)

Beweis: Weil $\{f, g\}$ ist auch unveränderlich,

\begin{aligned} ω (X_{F}, X_{G}) & = {F, G} \\ = - θ (X_{{F, G}}) \\ = - θ ([X_{F}, X_{G}]) \end{aligned}

$\begin{align*} \omega(X_f, X_g) &= \{f, g\} \\ &= - \theta ( X_{ \{f, g\} } ) \\ &= - \theta ( [X_f, X_g ] ) \end{align*}$ damit ist der Beweis abgeschlossen.

Übrigens, wenn Sie den Basispunkt wählen $m_0$ der Ursprung sein, wo alle $p_i = 0$ , dann ist die dort ausgewertete symplektische Form $0$ wenn beides $f$ Und $g$ sind invariant, was uns eine explizite Erkenntnis gibt, dass die zentrale Ladung wirklich Null ist:

ω (X_{F}, X_{G}) |_{M_{0}} = {F, G} |_{M_{0}} = P_{ich} (F_{ich}^{'} G_{ich} - F_{ich} G_{ich}^{'}) |_{M_{0}} = 0.

$\omega(X_f, X_g)\biggr\rvert_{m_0} = \{f, g\}\biggr\rvert_{m_0} = p_i (f_i' g_i - f_i g_i')\biggr\rvert_{m_0} = 0.$

Wir haben jetzt eine nette kleine Theorie dieser "invarianten" Funktionen entwickelt. Wir können sehen, dass die zentrale Erweiterung, die sich aus der Poisson-Klammer von zwei beliebigen invarianten Funktionen ergibt, immer trivial ist. Wenn also zwei beliebige Funktionen eine zentrale Erweiterung erhalten, kann eine der beiden Funktionen nicht invariant sein. Zum Beispiel, $\{q, p\} = 1$ impliziert, dass einer von $q$ oder $p$ kann nicht unveränderlich sein. Und natürlich ist es offensichtlich $q$ das ist die nicht invariante. Ebenso im Fall von $\{K, p\} = m$ , wir können das sehen $K$ ist auch keine invariante Funktion, weil sie die Lagrangefunktion um eine totale Ableitung ändert.

(Scheint es nicht so, als ob diese Geschichte für die Geschichte der zentralen Ladung von Brown Henneaux relevant ist? Kleine Diffeomorphismen entwickeln keine zentrale Ladung, große aber schon.)

QMechaniker · Answer 2

Die Quasisymmetrie von Galilei-Boosts und die zentrale Erweiterung der Galilei-Algebra in die Bargmann-Algebra wird zB in Lit. diskutiert. 1-2 und diesen Phys.SE-Beitrag.

FWIW, es ist nicht wahr, dass jede Quasisymmetrie mit einer zentralen Erweiterung verbunden ist. Gegenbeispiel: Betrachten Sie die Quasisymmetrie $\delta x^k=\varepsilon \dot{x}^k$ des Lagrange $L(x,\dot{x})=\frac{m}{2}\dot{x}^2-V(x)$ . Die Erhaltungsgröße ist nur die Energie, dh $H$ in der Hamiltonschen Formulierung.

Verweise:

V. Aldaya, J. Guerrero & G. Marmo, Quantization on a Lie group: Higher-order Polarizations, arXiv:physics/9710002 ; P. 6-8.
R. Andringa, E. Bergshoeff, S. Panda & M. de Roo, Newtonian Gravity and the Bargmann Algebra, arXiv:1011.1145 ; P. 11.

In der Frage, auf die Sie verlinken, weist David Bar Moshe darauf hin, dass Boosts nicht gehen $\theta = p dq$ unveränderlich. Ich dachte, dass dies vielleicht etwas mit der Präquantisierungsalgebra zu tun hat $Q(f) = - i \hbar X_f - \theta(X_f) + f$ die eine zentrale Erweiterung der Lie-Algebra der Vektorfelder ist.

Haben Gesamtableitungen etwas mit zentralen Erweiterungen zu tun?

Benutzer1379857

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Benutzer1379857

AccidentalFourierTransform

QMechaniker

Benutzer1379857

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