Eine winzige Symmetrietransformation kann die Lagrange-Funktion verändern durch eine Gesamtzeitableitung einer Funktion . Dies ist eine grundlegende Tatsache, die im Beweis des Satzes von Noether verwendet wird.
Wie können wir den Effekt dieses totalen Ableitungsterms im Hamilton-System sehen? Gibt es ein gutes Beispiel zum Ausarbeiten? Mir fällt auf Anhieb keiner ein. Es erscheint mir nur seltsam, dass all diese Aufregung um totale Ableitungen im Hamiltonschen Rahmen zu verschwinden scheint.
i) Haftungsausschluss. Als Purist missbillige ich die gängige Praxis, die Implikation zu nennen
II) Stattdessen sollte sich eine „Hamiltonsche Version des Satzes von Noether“ auf Quasi-Symmetrien einer Hamiltonschen Wirkung beziehen
III) Es ist ein Missverständnis, dass all diese Aufregung um totale Ableitungen [...] im Hamiltonschen Rahmen verschwindet. Die hamiltonsche Version erlaubt, dass die hamiltonsche Wirkung nur bis zu den Randtermen (dh einer sogenannten Quasi-Symmetrie ) invariant ist, genau wie in der Lagrange-Standardformulierung des Satzes von Noether . Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.
Ich nehme an, ich habe die "Antwort" auf meine sehr vage Frage herausgefunden, obwohl die anderen Antworten hier auch hilfreich sind. Der "Hamiltonian Lagrangian" ist
Das können wir also sehen zwangsläufig durch eine totale Ableitung ändert. Wenn die Menge , die totale Ableitung ist . Dies geschieht, wenn die Erhaltungsgröße von der Form ist
Der Grund, warum wir nicht von "Ändern des Hamilton-Operators durch eine totale Ableitung" sprechen, liegt darin, dass Symmetrien und Erhaltungssätze im Hamilton-Bild normalerweise anders gehandhabt werden.
In der Hamiltonschen Mechanik jede Funktion auf dem Phasenraum erzeugt einen Fluss auf dem Phasenraum, dh eine Ein-Parameter-Familie von kanonischen Transformationen . Die induzierte Änderungsrate einer beliebigen anderen Phasenraumfunktion Ist
Somit gilt bei gegebener infinitesimaler kanonischer Transformation ebenso ist sein Erzeuger eine Erhaltungsgröße. Dies kommt dem Satz von Noether am nächsten, den Sie normalerweise in der Hamiltonschen Mechanik sehen werden. Da bezieht es sich nur auf , nicht das Integral von , über Aufbewahrung braucht man nicht zu reden invariant bis zu einer totalen Ableitung – es muss nur invariant sein, Punkt. (Siehe aber auch die Antwort von Qmechanic über eine aktionsähnliche Formulierung, wo sie erscheint.)
Benutzer1379857
QMechaniker