Ist die Noether-Ladung immer ein hermitescher Operator?

Der Satz von Noether sagt uns, dass jeder kontinuierlichen Symmetrie der Lagrange-Funktion ein erhaltener Strom entspricht J μ . Aus der Zeitkomponente dieses Stroms können wir dann die noethersche Ladung definieren

Q = ∫ D 3 X   J 0 ( X ) ,
was ein zeitunabhängiger Operator ist. In allen Beispielen, die ich gesehen habe, die Noether-Ladung Q ist immer ein hermitescher Operator (bis auf eine triviale Umskalierung um ich ). Aber niemand scheint diese Tatsache jemals explizit in voller Allgemeinheit zu erwähnen.

Können wir beweisen, dass der Satz von Noether uns immer einen hermiteschen Ladungsoperator liefert? Wenn nein, gibt es Gegenbeispiele?

Antworten (2)

Die Noether-Ladung ist der Generator der Symmetrie, zu der sie gehört, siehe zB diese Antwort von Qmechanic . Dieser Zusammenhang ist auch in der Quantentheorie erhalten, siehe diese Frage , in dem Sinne, dass die Quanten-Noether-Ladung Q muss mit dem Hamiltonian pendeln H , zumindest in Abwesenheit von Anomalien und wenn wir bei der Verwendung der kanonischen Quantisierung nicht auf "Quantisierungsprobleme" stoßen.

Wenn wir nun annehmen, dass die klassische Symmetrietransformation durch eine einheitliche Transformation auf dem Hilbert-Raum dargestellt werden muss (Anmerkung: Ich gehe nicht davon aus, dass es sich um eine Quantensymmetrietransformation handelt), können wir dies direkt aus dem Satz von Stone schließen Q hermitesch ist und dass die mit der klassischen Symmetrie verbundene Transformation tatsächlich eine Symmetrie ist.

Man könnte fragen, ob man diese Annahme fallen lassen kann, ich glaube, das kann man nicht . Der Wegfall der Forderung, dass Transformationen durch unitäre Operatoren repräsentiert werden, führt dazu, dass die Normierung von Zuständen nicht erhalten bleibt, insbesondere, dass sich die Wahrscheinlichkeiten nach der Transformation, einen Zustand in anderen Zuständen, die eine Basis bilden, zu finden, nicht zu 1 summieren. Das geht kaputt Chaos mit der gesamten Struktur der Quantentheorie; Es ist eine vernünftige physikalische Annahme, dass alle physikalischen Transformationen einheitlich auf dem Hilbert-Zustandsraum dargestellt werden.

@AccidentalFourierTransform Endlichdimensionale Darstellungen sind nicht die Darstellungen im Hilbert-Raum der Theorie (gerade weil sie nicht einheitlich sind), sie leben nur im Zielraum der Felder, daher gilt Wigners Theorem nicht. Wenn wir in der Quantenmechanik von „Generatoren“ oder „Noether-Ladung“ sprechen, meinen wir im Allgemeinen einen Operator auf dem Zustandsraum, nicht auf dem Zielraum von Feldern.
Der Satz von Wigner ist eine Aussage über Symmetrien, die auf den zugrunde liegenden Hilbert-Raum einwirken. Der Satz von Noether betrifft interne Symmetrien der Lagrange-Funktion. Ich bin mir nicht sicher, wie die beiden verwandt sind. Insbesondere bin ich nicht ganz davon überzeugt, dass jede Symmetrie für die Lagrange-Funktion einheitlich sein muss.
@EuYu: Deshalb habe ich verlinkt, was ich verlinkt habe. Im Hamilton-System erzeugt die Noether-Ladung die Symmetrie. Nach der (kanonischen) Quantisierung entsprechen die Hamiltonschen Symmetrien und Generatoren Operatoren auf dem Hilbert-Raum, und dann trifft Wigners Theorem und sagt uns, dass der Symmetrieoperator unitär sein muss. Ich sehe nicht, wo Sie eine Lücke in dieser Argumentation sehen.
Ach ja, das ist richtig. Siehe auch diesen Beitrag , Sie suchen nach dem "Falschen", um die Hermitizität zu bestimmen. Wir müssten den Adjoint von nehmen σ in ihrer Darstellung auf dem Hilbert-Raum , nicht auf der nicht einheitlichen finite-dim-Wiedergabe, um darauf zu schließen, ob oder nicht J ist hermitesch. Ob es in der Darstellung auf dem Zielraum der Felder hermitesch ist oder nicht, ist eine physikalisch irrelevante Information, zumindest hat es keine Bedeutung, die ich sehen könnte.
Eigentlich muss ich jetzt offline gehen; Wenn Sie dies weiter besprechen möchten, können Sie mir eine Nachricht im Chat schreiben.
Tut mir leid, dass ich stumpf bin, aber das Argument scheint mir immer noch zirkulär zu sein. Mal sehen, ob ich dich richtig verstehe. Nehmen wir als Beispiel ein komplexes Skalarfeld. Die Lagrange-Funktion ist invariant unter ϕ ↦ e ich θ ϕ , was eine Ladung erzeugt Q . Diese Ladung wirkt auf den Hilbertraum, wobei die Symmetrie über implementiert ist v ( θ ) = e ich θ Q . Soweit stimme ich zu. Aber wenn wir das a priori nicht wissen Q hermitesch ist, woher wissen wir, dass wir haben | ⟨ ξ | v † v | ψ ⟩ | = | ⟨ ξ | ψ ⟩ | , was ist die Bedingung für die Anwendung des Satzes von Wigner?
@EuYu: Uh-oh, du hast recht, das ist eine Lücke. Ich werde darüber nachdenken, wenn ich es nicht beheben kann, werde ich diese Antwort löschen.
Danke für die aktualisierte Antwort. Ich stimme größtenteils zu, aber es scheint immer noch nicht befriedigend zu sein. Wenn wir eine Symmetrie der Lagrange-Funktion haben, können wir die herauskommende Ladung nicht auswählen. Die zugehörige Symmetrie v ( θ ) = e ich θ Q entweder einheitlich sein wird oder nicht, und das ist keine Bedingung, die wir stellen können. Natürlich können wir alle Symmetrien der Lagrange-Funktion ablehnen, die eine solche Uneinheitlichkeit erzeugt v als nicht-physisch, was Sie meiner Meinung nach vorschlagen. Aber das zugrunde liegende mathematische Problem ist, ob solche nicht-physikalischen Symmetrien überhaupt existieren, und das ist noch nicht gelöst.
@EuYu: Nun, ich denke, das Problem ist, dass es zB die Ordnungsmehrdeutigkeit bei der Wahl des Quantisierungsverfahrens gibt, die es unmöglich macht, sich aus dem klassischen Ausdruck für zu entscheiden Q ob Q in der Quantentheorie hermitesch sein wird oder nicht, also kann man dies nicht wirklich als rein mathematisches Problem formulieren, weil das Quantisierungsverfahren "physikalisch" so gewählt ist, dass alle Generatoren von Symmetrien hermitesch herauskommen. Wenn ich beispielsweise die Weyl-Quantisierung wähle, werden alle Phasenraumfunktionen aufgrund der Symmetrisierung an hermitische Operatoren gesendet, sodass Q trivial hermitesch ist.

Supersymmetriegeneratoren sind nicht immer hermitesch. Wenn Sie SUSY auferlegen und dann die entsprechenden Noether-Ströme berechnen und dann die Erhaltungsladung berechnen, dh die fermionischen Lorentz-Generatoren, erhalten Sie zwei nicht-hermitesche Erhaltungsströme.

(Übrigens, die Relation Q † = Q ¯ gilt nur in der Lorentzschen Signatur, in der Euklidischen Signatur ist diese Beziehung nicht wahr.)

Tatsächlich wurde dies von Olive und Witten gut berechnet. Sie haben genau das getan, was ich skizziert habe N = 2 SYM ohne Materiefelder und erhielt die zentrale Ladung dieser Theorie. Siehe Abschnitt 2.8 von http://arxiv.org/abs/hep-th/9701069 für eine detaillierte Berechnung.

Außerdem würdest du nicht immer ein Paar bekommen Q Und Q ¯ . Man nehme nur bspw. N = ( N , M ) 6D-Theorien.

Die Moral dieser Geschichte ist die folgende: Sie werden immer davon ausgehen S = S † (eine reale Aktion.) Wenn Ihr Symmetriegenerator auch hermitesch ist, ist der erhaltene Strom und daher die erhaltene Ladung ebenfalls hermitesch. Dies ist jedoch möglicherweise nicht der Fall.

Könnten die "fermionischen Lorentz-Generatoren" aus dem gleichen Grund "nicht- hermitisch" sein, aus dem die Boosts nicht einheitlich sind ? Dh nehmen Sie die Adjungierten als Operatoren auf den Zielraum des Feldes und nicht auf den Hilbert-Raum der Theorie? Dies ist kein echtes Gegenbeispiel dafür, dass Generatoren einheitlich sind, da der relevante Begriff von "einheitlich / selbstadjungiert" der von Operatoren im Hilbert-Zustandsraum ist, nicht im Zielraum der Felder.
Zunächst einmal ging es bei der Ausgangsfrage um hermitische Noether-Ladungen und nicht um Unitarität. Das habe ich gerade beantwortet. Zweitens ändern die auf einen Zustand einwirkenden Superladungen nicht die "Einheitlichkeit" des Systems (ich denke, dies beantwortet den ersten Teil Ihrer Frage). Zweitens, um Zustände im Hilbert-Raum der Theorie zu "erzeugen" (was der zweite ist Teil Ihrer Frage) müssen Sie aus den Supercharges die konstruieren A Und A † , die, wie im Fall des harmonischen Oszillators, keine Hermitianer sind.
Ist die Noether-Ladung immer ein hermitescher Operator?
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