Welche Bedeutung haben die Lie-Gruppen SO(3)SO(3)SO(3) und SU(2)SU(2)SU(2) für die Teilchenphysik?

Die Links von QuantumMechanic ergeben eine schwindelerregende Vielfalt an Bedeutungen für$SU(2)$in Physik, daher erweist sich Ihre Frage wahrscheinlich als zu allgemein für eine einfache Antwort. Nichtsdestotrotz mag ich es und ähnliche Fragen, die nach prägnanten Übersichten der Dinge suchen, also werde ich versuchen, sie mit dem Verständnis meines Nicht-Teilchenphysikers zu beantworten.

Wahrscheinlich die "Haupt"-Bedeutung von$SU(2)$Sie werden feststellen, dass es sich um den (oder höchst nicht trivialen Teil der) Gauge-Gruppe bestimmter Theorien vom Typ Yang-Mills handelt (siehe Yang-Mills-Wiki-Seite ), insbesondere:

1. Das$SU(2) \times SU(1)$Eichgruppe der elektroschwachen Wechselwirkung (siehe gleichnamige Wiki-Seite) . Hier sind die drei orthonormalen (bzgl. der Killing-Form) Basisvektoren der Lie-Algebra$SU(2)$entsprechen den drei W-Bosonen.
2. Isospin-Symmetrie (siehe Wiki-Seite „Isospin“) Die Gruppe der angenäherten Symmetrien, die den Hamilton-Operator der starken Wechselwirkung invariant lassen, wie er 1932 von Heisenberg formuliert wurde. Das Proton und das Neutron „leben“ in der fundamentalen Darstellung von$SU(2)$(Ich vermute, Sie sind Mathematiker - falls Sie das also noch nicht aufgegriffen haben, Physiker sind es gewohnt, den Vektorraum zu meinen, auf den Bilder von Gruppenmitgliedern unter der Repräsentation als "Repräsentation" wirken - ich habe es gebraucht eine Weile, um dies zu begreifen), während die drei Pionen in der adjungierten Darstellung von leben$SU(2)$, dh sie werden durch entsprechende Mitglieder von transformiert$SO(3)$. Die Protonen und Neutronen haben einen Spin$1/2$, die Spinoren sind, und sie können als Basisvektoren für a betrachtet werden$\mathbb{C}^2$Zustandsraum, auf den ein Gruppenmitglied einwirkt$\gamma$einfach durch$X\in\mathbb{C}^2\mapsto \gamma\,X$. Die drei neutralen Pionen sind Basisvektoren in an$\mathbb{R}^3$Zustandsraum, auf den eingewirkt wird$Y\in\mathbb{R}^3\mapsto\mathrm{Ad}(\gamma)\,Y$.

Im Fall von Eichtheorien liegt mein Verständnis ihrer Bedeutung (die der Yang-Mills-Art mit einer endlichdimensionalen Strukturgruppe) in dieser Antwort . Wenn Sie wie ich etwas langsam in der Aufnahme sind, brauchen Sie vielleicht jemanden, der Sie darauf hinweist, dass "alles, was wir tun", beim Erstellen einer Eichtheorie darin besteht , eine Fibration auf einer physikalisch beobachtbaren Theorie aufzubauen, und die Eichgruppe ist nichts mehr als die Strukturgruppe des Faserbündels: Wir legen Haare auf eine Theorie und sehen, was für schöne Zöpfe wir damit machen können. (Ja, ich brauchte wirklich jemanden, der mich ausdrücklich darauf hinweist, obwohl ich ein vernünftiges Verständnis von Faserbündeln habe!) Aber warum tun wir das, dhOberflächlich betrachtet scheinen sie Komplexität hinzuzufügen, obwohl es das Ziel der Physik zu sein scheint, Dinge zu vereinfachen, anstatt sie mit mehr Haaren (Komplexität) auszustatten? Hier gibt es zwei Antworten:

1. Es gibt eine bekannte klassische Eichtheorie - Maxwells Elektromagnetismus mit der$U(1)$Symmetrie – deren seltsame Eichsymmetrie wir versuchen, auf andere Physik zu übertragen, genau wie eine mathematische Physik-Analogie zum „Saugen und Sehen“;

2. Es gibt entweder (i) experimentell beobachtete kontinuierliche Symmetrien oder (ii) konservierte Größen in physikalisch beobachteten Prozessen, also fügen wir die Faserung hinzu, um diese Symmetrien oder konservierten Größen theoretisch zu erzeugen. Bei beobachteten Erhaltungsgrößen funktioniert dieses Verfahren über den Satz von Noether, aber es ist wichtig zu verstehen, dass die Implikation durch Noethers Theorem nur in eine Richtung geht: Ein Lagrangian mit kontinuierlichen Symmetrien impliziert die gleiche Anzahl von Erhaltungsgrößen, aber eine konservierte Größe impliziert nicht unbedingt eine kontinuierliche Symmetrie. Wieder ist es ein Saug-und-See-Ansatz – wir kennen einen Weg, eine Erhaltungsgröße in einer Theorie zu erzwingen – nämlich: Hinzufügen einer Faser- oder Eichsymmetrie – also versuchen wir es und sehen, was passiert, und es passiert so, dass die Theorien experimentell werden auf diese Weise gebaut funktionieren ziemlich gut (das Standardmodell).

Andere Ressourcen, die ich hilfreich fand – insbesondere wenn Sie sich noch nicht mit Eichtheorien befasst haben – sind die folgenden:

1. John C. Baez und John Huerta, "Die Algebra der großen einheitlichen Theorien"
2. Gerard 't Hoofts "Lügengruppen in der Physik"
3. Terrence Taos Blog "Was ist ein Messgerät?"
4. Wikipedia-Seite "Eichtheorie".
5. Wikipedia-Seite "Einführung in die Eichtheorie".
6. Zusammenfassung des Nobelvortrags von Gerard 't Hooft 1999
7. Relevante Kapitel in Roger Penroses "Road To Reality" (hab ich gerade nicht vor Augen).

Ich fand die ersten beiden Artikel von Baez/Huerta und 't Hooft hier von unschätzbarem Wert. Wie gesagt, ich bin kein Teilchenphysiker, aber nachdem ich dies gelesen habe, habe ich das Gefühl, dass ich zumindest vielen Diskussionen auf diesem Gebiet folgen kann, ohne dass mir zu viel (sagen wir < 80%) über den Kopf geht. Dank John Baez und seiner wunderbaren Literatur denke ich, dass das Absterben in einem Pflegeheim nicht so schlimm sein wird, wenn ich bis dahin noch lesen kann! (Dies ist übrigens nicht in Sicht). Ich finde fast alles, was über Physik und ihre Beziehung zur Mathematik von Baez, 't Hooft und Penrose geschrieben wurde, sehr lesenswert. Auf der Webseite von Gerard 't Hooft gab es (wahrscheinlich immer noch) eine ausgezeichnete Einführung in die Eichtheorieaber die Webseite selbst ist ein bisschen schwer zu navigieren und ich kann sie im Moment nicht finden - ich denke, eine solche Desorganisation ist unvermeidlich für jemanden, der so vielseitig mathematisch ist wie 't Hooft, der so viel abwechslungsreiches Material teilen möchte.

Aber vielleicht die tiefste, einfachste und (für mich die schönste) Bedeutung von allen für$SO(3)$und$SU(2)$ist die einfache Beziehung zwischen den beiden Gruppen, wobei die eine die universelle Abdeckung der anderen ist (siehe meine Antwort hier) , wie mir ein siebenjähriger Junge indirekt beigebracht hat (die Tiefe der physischen Bedeutung und nicht die universelle Abdeckungseigenschaft ), als ich den Dirac-Gürteltrick und die Körbchentricks in der Schule meiner Tochter demonstrierte und er die Frage stellte: "Können Sie eine schickere Anordnung von Bändern machen, so dass Sie sie [die Puppe] dreimal anstatt zweimal drehen müssen, um zurück zu kommen der Anfang?" (Ich benutze eine Puppe an einem Band und nicht nur eine markierte Karte mit Kindern, weil wir als soziale Tiere fest dazu verdrahtet sind, ein Gesicht zu erkennen, also ist es mit einer Puppe unverkennbar, die Drehungen im Auge zu behalten. Viele kleinere Kinder von etwa sechs Jahren Jahre und älter finden den Gürteltrick richtig spannend,

Ich war tief beeindruckt von seiner Frage und wünschte, ich könnte sie ihm besser beantworten. Aber was die Teilchen betrifft, ist die Antwort dieselbe: ein klares Nein: Es gibt nur halbzahlige Spins, keinen Spin$1/3$und so weiter, weil$SU(2)$ist das universelle Cover von$SO(3)$. Es gibt nur Bosonen und Fermionen auf der Welt und die doppelte Deckungsbeziehung dazwischen$SO(3)$und$SU(2)$Deshalb – „ein einfach verbundener topologischer Raum lässt keine nicht-trivialen Überdeckungen zu“, um aus WS Massey, „Algebraic Topology: An Introduction“ zu zitieren – ist die universelle Überdeckung also der ganze Gig! Der Riementrick funktioniert, weil die Entwicklung der Serret-Frenet-Rahmen entlang des verdrehten Bandes einen kontinuierlichen Weg hindurch kodiert$SO(3)$von der Identität zur Transformation, die durch die Orientierung der Puppe im Raum definiert wird, und so kodiert das Band genau die Homotopieklasse dieses Pfades . Wenn Sie es über die Puppe schleifen (den Pfad kontinuierlich verformen) und die Drehungen rückgängig machen können, codiert das Band immer noch dieselbe Homotopieklasse. Der Gürteltrick ist eine genaue physikalische Analogie zum mathematischen Verfahren zum Bau einer universellen Hülle. Also diese bescheidene Bemerkung über die Beziehung zwischen$SO(3)$und$SU(2)$erklärt alles folgende:

1. Es gibt keinen anderen Spin$1/3$, oder irgendein$1/N$abgesehen von$1/2$, Bänder, die in einem Dirac-Gürteltrick realisierbar sind;

2. Spinoren und Tensoren erschöpfen die Liste von allem, was sich mit Rotationen vereinbar transformieren lässt . Eigentlich erweitert sich die Idee von der$SO(3)$mit$SO(2)$Beziehung zu allgemeinen echten Lorentz-Transformationen: Wir fügen der Mischung Verstärkungen hinzu und erhalten die identitätsverbundene Komponente der Lorentz-Gruppe$O(3,1) \cong PSL(2, \mathbb{C}) \cong \operatorname{Aut}(\mathbb{C})$(letzteres ist die Gruppe der invertierbaren Möbius-Transformationen) und die doppelte Abdeckung dieses Tieres ist$SL(2, \mathbb{C})$, also erschöpfen Spinoren und Tensoren die Liste von allem, was sich kompatibel mit Rotationen, Boosts und allgemeinen Kombinationen davon transformiert; und

3. Es gibt nur Bosonen und Fermionen - also nur Teilchen mit halbzahligen oder ganzzahligen Spins auf der Welt.

Wirklich finde ich, dass diese einfache Beziehung ein kleines Juwel ist, das man sich ansehen sollte. In Kapitel 17 des dritten Bandes „The Feynman Lectures on Physics“ gibt es eine Fußnote, in der Feynman sagt, er habe versucht, eine einfache Demonstration zu finden, dass es nur halbzahlige Spins gibt, und sei gescheitert – „Wir müssen darüber reden mit Prof. Wigner, der sich mit solchen Dingen bestens auskennt"!, beendet er die Fußnote. Ich glaube eher, dass Feynman nach dem, was ich über seine Arbeit und seinen Sinn für Humor weiß, erfreut gewesen wäre, wenn ihm die Erklärung von einem Siebenjährigen vorgeschlagen worden wäre, wenn er am Leben gewesen wäre.

Abschließend möchte ich noch erwähnen, wie$SU(2)$und$SO(3)$tauchen in meinem eigenen Gebiet der Optik und des Elektromagnetismus auf. Es ist nicht ganz das, was die Leute gewöhnlich unter "Teilchenphysik" verstehen, aber es ist eine Anwendung in der Physik des Photons. Der allgemeine Polarisationszustand eines elektromagnetischen Einmodenfeldes$\Psi = \left(\begin{array}{c}\psi_+\\\psi_-\end{array}\right)$kann in zwei komplexen Amplituden codiert werden, eine für den Basiszustand jeder Zirkularpolarisation (oder Amplituden der beiden Riemann-Silberstein-Vektoren für einen bestimmten Wellenvektor, mehr wie in meiner Antwort hier besprochen ). Ein verlustfreier Polarisationstransformator (Wellenplatte, Spiegelsystem usw.) muss diesen beiden Amplituden eine allgemeine einheitliche Transformation verleihen, da die Summe ihrer quadratischen Größen die Leistung der Welle ist. Oft machen wir uns keine Sorgen um die Phase, die beiden Polarisationseigenzuständen gemeinsam ist, sodass wir uns vorstellen können, dass die Matrix unseres Polarisationstransformators darin lebt$SU(2)$statt$U(2) \cong SU(2) \otimes U(1)$, aber der Jones-Kalkül behandelt tatsächlich$U(2)$auch:

$$\Psi \mapsto \Psi^\prime = \mathbf{U}\,\Psi;\;U\in SU(2)$$

In diesem Zusammenhang,$\mathbf{U}$wird die Jones-Matrix des Transformators genannt . Wir können den Polarisationszustand auch durch die Stokes-Parameter darstellen:

$$s_j(\Psi) = \Psi^\dagger \sigma_j \Psi$$ $$\begin{array}{l} s_0 = \Psi^\dagger\,\Psi = |\Psi|^2\\ s_1 = 2 \operatorname{Re}(\psi_+^*\,\psi_-)\\ s_2 = 2 \operatorname{Im}(\psi_+^*\,\psi_-)\\ s_3 = |\psi_+|^2 - |\psi_-|^2 \end{array}$$

wo$\sigma_j$sind die Pauli-Spinmatrizen (hier$\sigma_j;\,j=1,\,2,\,3$sind die Matrizen auf der Pauli-Matrix-Wiki-Seite und$\sigma_0$ist der$2\times2$Identität);$i\,\sigma_j;\,j=1,\,2,\,3$natürlich überspannen$\mathfrak{su}(2)$und$i\,\sigma_j;\,j=0,\,1,\,2,\,3$Spanne$U(2)$. Diese Definition der Stokes-Parameter unterscheidet sich geringfügig von der üblicherweise in der Optik gegebenen ( z . B. Abschnitt 1.4 von Born und Wolf, "Principles of Optics", 6. Auflage ); es gibt einen unwichtigen Vorzeichenwechsel und eine Umnummerierung. Die Pauli-Spinmatrizen$i \sigma_1,\,i \sigma_2,\, i \sigma_3$sind Grundlage für$\mathfrak{su}(2)$und$U$kann geschrieben werden als$U = \exp(-i \theta \sum \gamma_j \sigma_j/2);\;\theta,\,\gamma_j\in\mathbb{R},\;\sum\gamma_j^2 = 1$. Wenn der Systemeingang ist$\Psi$, dann nach Transformation durch$U$, werden seine Stokes-Parameter durch die Spinor-Map transformiert:

$$s_k = \Psi^\dagger U^\dagger \sigma_k U \Psi = \Psi^\dagger U^{-1} \sigma_k U \Psi = - i \Psi^\dagger \exp\left(i \frac{\theta}{2} \sum_j \gamma_j \sigma_j\right) i \sigma_k \exp\left(-i \frac{\theta}{2} \sum_j \gamma_j \sigma_j\right) \Psi$$

oder alternativ die Einheitssphäre von Stokes-Vektoren$(s_1,\,s_2,\,s_3)^T$wird durch eben die Drehung transformiert$\exp(\theta \,\mathbf{H})$Matrix entsprechend$\mathbb{U}$wenn letzteres durch den adjungierten Standarddarstellungshomomorphismus abgebildet wird:

$$\exp(\theta \,\mathbf{H}) = \exp\left(\theta \left(\begin{array}{ccc}0&\gamma_z&-\gamma_y\\-\gamma_z&0&\gamma_x\\\gamma_y&-\gamma_x&0\end{array}\right)\right)$$

so dass wir Polarisationszustandsänderungen als Drehungen der Einheitskugel visualisieren können, solange wir für den Unterschied zwischen einer Transformation gerne blind sind$\mathbf{U}$und sein Negativ$-\mathbf{U}$, dh wir freuen uns, nur Nebenmengen des Kerns dieses Homomorphismus zu sehen.

Eine leichte Verallgemeinerung dieses Verfahrens ist die Verwendung des Mueller-Kalküls (siehe Wiki-Seite "Mueller-Kalkül") , der die Dichtematrix-Notation in Verkleidung ist und mit teilweise polarisierten Lichtzuständen umgehen kann, bei denen es sich um klassische statistische Mischungen reiner Quantenzustände handelt. Ich beschreibe dies Aspekt des Müller-Kalküls in meiner Antwort hier .

Ich werde hier eine experimentelle Einführung in SU(2) und SU(3) einfügen.

Bereits in den sechziger Jahren haben wir die spannenden Resonanzdaten, die wir aus einer Vielzahl von Experimenten gewonnen haben, in Spin- Regge-Pole geordnet . Der Spin war seit Studien der Kernphysik in SU(2)-Multipletts organisiert, und das Analogon wurde im Isotopenspin (Proton nach oben, Neutron nach unten) erkannt und ausgiebig für die neu entdeckten Teilchen verwendet. Spin und Isotopenspin, also SU(2), hatten also schon früh eine Bedeutung für die Experimentalphysik, auf der sich weitergehende Theorien aufbauen ließen.

Dann kam die Offenbarung des achtfachen Weges,

Das Meson-Oktett. Teilchen entlang der gleichen horizontalen Linie teilen die gleiche Seltsamkeit s, während die auf den gleichen Diagonalen die gleiche Ladung q teilen.

Es war damals sehr aufregend zu sehen, dass die sorgfältig in SU(2)-Multipletts organisierten Mesonen eine zusätzliche Symmetrie aufwiesen, wenn eine neue Quantenzahl verwendet wurde, eine Symmetrie, die durch die Multipletts von SU(3)-Gruppen wunderbar erfüllt wurde. Gruppen wurden für die Organisation physikalischer Daten sehr wichtig und waren Eingaben für die theoretischen Grundlagen, die diese Daten nach 1970 beschreiben könnten. Daher wurden höhere Gruppen wie SO(3) erforscht und/oder verwendet.