Poincare-Gruppe vs. Galilean-Gruppe

Es ist wichtig, zwischen drei Gruppenaktionen zu unterscheiden, die "Galilean" genannt werden:

-Die galiläische Transformationsgruppe des euklidischen Raums (als Automorphismengruppe).

-Die Galileische Transformationsgruppe des klassischen Phasenraums (deren Lie-Algebra eine Lie-Subalgebra der Poisson-Algebra des Phasenraums darstellt). Dies ist die klassische Aktion.

-Die Galileischen Transformationen der Wellenfunktionen (die unendlichdimensionale irreduzible Darstellungen sind). Das ist die Quantenwirkung.

Nur die erste Gruppenaktion ist frei von der zentralen Erweiterung. Sowohl klassische als auch Quantenaktionen umfassen die zentrale Erweiterung (die manchmal als Bargmann-Gruppe bezeichnet wird). Die zentrale Erweiterung ist also nicht rein quantenmechanisch, allerdings beschreiben die meisten Lehrbücher die zentrale Erweiterung für den Quantenfall. Ich erkläre zuerst den Quantenfall, dann kehre ich zum klassischen Fall zurück und vergleiche die beiden Fälle mit der Poincare-Gruppe.

In der Quantenmechanik ist eine Wellenfunktion im Allgemeinen keine Funktion auf der Konfigurationsmannigfaltigkeit, sondern ein Abschnitt eines komplexen Linienbündels über dem Phasenraum. Im Allgemeinen ist der Auftrieb einer Symmetrie (ein Automorphismus des Phasenraums) ein Automorphismus des Linienbündels, also a$\mathbb{C}$Erweiterung des Automorphismus des Grundraums. Im Falle einer einheitlichen Symmetrie ist dies a$U(1)$Verlängerung. Manchmal ist diese Erweiterung trivial, wie im Fall der Poincare-Gruppe. Nun, die zentralen Erweiterungen einer Lie-Gruppe$G$werden nach der Gruppe Kohomologiegruppe klassifiziert$H^2(G, U(1))$. Im Allgemeinen ist es nicht trivial, diese Kohomologiegruppen zu berechnen, aber der Fall der Galileischen und Poincaré-Gruppen kann heuristisch wie folgt verstanden werden:

Die Anwendung der galiläischen Gruppenklage$\dot{q} \rightarrow \dot{q}+v$zur nichtrelativistischen Wirkung eines freien Teilchens:$S = \int_{t_1}^{t_2}\frac{m }{2}\dot{q}^2dt$, erzeugt eine totale Ableitung, die zu führt$S \rightarrow S + \frac{m}{2}v^2(t_2-t_1) + mvq(t_2) - mvq(t_1)$: Jetzt seit dem Verbreiter$G(t_1, t_2)$verwandelt sich als$exp(\frac{iS}{\hbar})$und das innere Produkt$\psi(t_1)^{\dagger} G(t_1, t_2) \psi(t_2)$invariant sein muss, erhalten wir, dass sich die Wellenfunktion transformieren muss als:

$\psi(t,q) \rightarrow exp(\frac{i m}{2\hbar}(v^2 t+2vq) \psi(t,q)$

Nun kann keine Anwendung einer glatten kanonischen Transformation die totale Ableitung aus dem Transformationsgesetz der Wirkung entfernen, dies ist ein Hinweis darauf, dass die zentrale Erweiterung nicht trivial ist.

Der Fall der Poincare-Gruppe ist trivial. Die relativistische Wirkung freier Teilchen ist unter der Wirkung der Poincare-Gruppe invariant, daher erhält die Transformation der Wellenfunktion keine zusätzlichen Phasen und die Gruppenerweiterung ist trivial.

Klassisch ist der Phasenraum$T^{*}R^3$und die Wirkung der Boosts auf die Impulse ist gegeben durch:$p \rightarrow p + mv$, also müssen die Generatoren der Boosts die Form haben$K = mvq$, dann erhält man die Wirkung leicht unter Verwendung der Poisson-Klammer {q, p} = 1, und die Poisson-Klammer eines Boosts und einer Übersetzung ist nicht trivial {K, p} = m.

Der Grund, warum die Lie-Algebra-Aktion im klassischen Fall die zentrale Erweiterung erhält, besteht darin, dass die Aktion hamiltonsch ist, also durch hamiltonsche Vektorfelder realisiert wird und Vektorfelder im Allgemeinen nicht pendeln.

Die Iwasawa-Zerlegung der Lorentz-Gruppe liefert die Antwort auf Ihre zweite Frage:

$SO^{+}(3,1) = SO(3) A N$wo$A$wird durch den Boost erzeugt$M_{01}$und$N$ist die abelsche Gruppe, die von erzeugt wird$M_{0j}+M_{1j}$,$j>1$. Jetzt beide Untergruppen$A$und$N$sind als Mannigfaltigkeiten zu homöomorph$R$und$R^2$beziehungsweise.

Zu Ihrer dritten Frage: Der Begrenzungsprozess, der die Galileische Gruppe aus der Poincare-Gruppe hervorbringt, wird als Wingne-Inonu-Kontraktion bezeichnet. Diese Kontraktion erzeugt den nicht-relativistischen Grenzwert. Seine Beziehung zur Quantenmechanik besteht darin, dass es einen Begriff der Kontraktion der einheitlichen Darstellungen von Lie-Gruppen gibt, jedoch keinen trivialen.

Aktualisieren

In der klassischen Mechanik werden Observablen als Funktionen im Phasenraum ausgedrückt. siehe zum Beispiel Kapitel 3 von Ballentines Buch für die explizite klassische Realisierung der Generatoren der Galileischen Gruppe.

Dies ist ein Fall, in dem das vollständige geometrische Quantisierungsrezept ausgeführt werden kann. Sehen Sie sich die folgenden zwei Artikel für eine Überprüfung an. (Der vollständige Beweis erscheint auf Seite 95 des zweiten Artikels. Die technischen Berechnungen sind auf den Seiten 8-9 des ersten Artikels besser lesbar).

Die zentralen Erweiterungen erscheinen im Prozess der Vorquantisierung.

• Beachten Sie zunächst, dass die Hamiltonschen Vektorfelder$X_f$entsprechend den Generatoren der Galileischen Lie-Algebra nahe der nicht zentral erweiterten Algebra, (weil das Hamiltonsche Vektorfeld konstanter Funktionen verschwindet).

• Allerdings sind die vorquantisierten Operatoren

$\hat{f} = f - i\hbar(X_f - \frac{i}{\hbar}i_{X_f} \theta)$, ($\theta$ein symplektisches Potential ist, dessen äußere Ableitung gleich der symplektischen Form ist) nahe der zentral erweiterten Algebra, weil ihre Wirkung isomorph zur Wirkung der Poisson-Algebra ist.

Die vorquantisierten Operatoren werden als Operatoren über dem Hilbert-Raum der quadratintegrierten polarisierten Abschnitte verwendet und liefern somit eine Quantenrealisierung der zentral erweiterten Lie-Algebra.

In Bezug auf Ihre zweite Frage wirkt die Wingne-Inonu-Kontraktion auf der Ebene der abstrakten Lie-Algebra und nicht für ihre spezifischen Realisierungen. Eine gegebene Realisierung wird als „Quantum“ bezeichnet, wenn sie sich auf eine Realisierung auf einem Hilbert-Raum bezieht (im Gegensatz zur klassischen Realisierung mittels Poisson-Klammern).

Du stellst immer noch viel zu viele Fragen auf einmal. Denken Sie also beim nächsten Mal daran, sie aufzuteilen. Ich werde hier nur den Topologieteil ansprechen.

Als topologische Räume haben wir

$$SO(3) = {\mathbb R \mathbb P}^3 = S^3 /\sim ,$$ $$SO(4) = S^3 \times S^3 / \sim,$$ $$SO^+(1,3) = {\mathbb R}^3 \times S^3 / \sim$$ (in all diesen Fällen $\sim$ist eine Identifizierung der Antipodenpunkte auf den relevanten Sphären). Man kann diese Ergebnisse erhalten, indem man feststellt, dass die doppelte Abdeckung von $SO(3)$ist $SU(2)$, Doppeldeckel von $SO(4)$ist $SU(2) \times SU(2)$und die doppelte Abdeckung von $SO^+(1,3)$ist $SL(2, {\mathbb C})$. (Beachten Sie, dass die obigen Faktorisierungen auch geschrieben werden können als $X/({\mathbb Z} / 2{\mathbb Z})$was eine Faktorisierung eines Raums durch die Aktion der Gruppe auf dem Raum ist; in diesem Fall sendet die Aktion einen Punkt zu seinem Antipodenpunkt).

Das Hinzufügen von Übersetzungen bedeutet nur die Verwendung des semidirekten Produkts auf der Ebene der Gruppen oder des direkten Produkts auf der Ebene der topologischen Räume. Insgesamt haben wir, dass die zusammenhängende Komponente der Poincaré-Gruppe ist${\mathbb R}^4 \times {\mathbb R}^3 \times S^3 / \sim$. Was die Wikipedia-Seite betrifft, bin ich mir Ihrer Verwirrung nicht sicher. Es definiert die Poincaré-Gruppe als${\mathbb R}^4 \rtimes O(1,3)$und topologisch ist dies eine disjunkte Vereinigung von vier Kopien von${\mathbb R}^4 \times {\mathbb R}^3 \times S^3 / \sim$.