Transformation des spurlosen symmetrischen Tensors unter einer Lie-Gruppe

Normalerweise zerlegt man ein Tensorprodukt, dessen Elemente unter einer Lie-Gruppe transformiert werden, in seinen Spurenteil, spurlosen symmetrischen Teil und antisymmetrischen Teil, um eine irreduzible Darstellung der Lie-Gruppe zu erhalten.

Zum Beispiel die 3 ⊗ 3 von S u ( 2 ) wird durch eine Summe irreduzibler Wiederholungen dargestellt, 1 , 3 , 5 . Ich verstehe dieses Ergebnis jedoch nicht in Bezug auf Tensorkomponenten.

Lassen Sie mich auf ein konkretes Beispiel eingehen, um meine Frage zu verdeutlichen. Lassen L ich   ( ich = 1 , 2 , 3 ) Hermitesche Generatoren von sein S Ö ( 3 ) die gehorchen S u ( 2 ) Lügenalgebra u A ich † , A ich seien Tensoroperatoren, die sich transformieren als 3 unter der Algebra.

Mit anderen Worten,

[ L ich , A J † ] = ich ε ich J k A k † , [ L ich , A J ] = ich ε ich J k A k .
Diese kann man sich denken A ich † , A ich als Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren eines dreidimensionalen isotropen harmonischen Oszillators.

Dann können wir mit der Form ein symmetrisches Tensorprodukt konstruieren A ich † A J + A J † A ich .

Seit ( 3 ⊗ 3 ) S j M = 5 + 1 , sollten wir zeigen, dass wir zwei Operatoren transformieren unter ableiten können 5 Und 1 bzw. aus dem symmetrischen Produkt.

Wie gesagt, wir finden normalerweise den Trace-Teil als 1 (Singlet) und in der Tat

[ L ich , ∑ J A J † A J ] = 0.

Wir müssen also den spurlosen symmetrischen Tensor zeigen

1 2 ( A ich † A J + A J † A ich ) − 1 3 δ ich J ∑ k A k † A k
verwandelt sich als 5 .

Die Berechnung des Kommutators gibt uns jedoch

[ L ich , 1 2 ( A J † A k + A k † A J ) − 1 3 δ J k ∑ l A l † A l ] = [ L ich , 1 2 ( A J † A k + A k † A J ) ]
so dass wir nur überprüfen können, ob dies transformiert ist 3 ⊗ 3 .

Seit e B A e − B = A + [ B , A ] + ⋯ , möchte ich zeigen, dass diese Transformation ihre spurlosen und symmetrischen Eigenschaften invariant lässt, aber wie kann ich das tun?

Alle Kommentare sind willkommen.

Vorschlag: wenn Sie den Index verwenden ich beschriften L 's, verwenden Sie es nicht zum Etikettieren A † um Verwirrung zu vermeiden. Siehe Rowe DJ, Le Blanc R, Repka J. A rotor expansion of the su (3) Lie algebra. Zeitschrift für Physik A: Mathematisch und allgemein. 21. April 1989;22(8):L309. für eine explizite Konstruktion der L = 2 Tensor.
@ZeroTheHero Ich denke, die Indizes von Leiteroperatoren sind Raumzeit-Indizes, da die obigen Transformationen durch verursacht werden L zeigt an. Tatsächlich entsprechen die Leiteroperatoren dem dreidimensionalen HO, also entsprechen die Indizes X , j , z in einem richtigen System. Können Sie den Grund erläutern, warum wir sie genauer unterscheiden müssen?
Die Indizes können beliebig sein (hat nichts mit Raumzeit zu tun), aber warum bestehen Sie darauf, sie zu verwenden? ich sowohl L ich Und A ich † A J mit ich wiederholt? Obwohl S u ( 2 ) ∼ S Ö ( 3 ) sie sind unterschiedlich und unäquivalent in su(3) eingebettet; siehe das Rowe-Papier oben, wo die L = 1 Tensor (die so(3)-Generatoren) und die L = 2 ( Quadrupol ) Tensor sind explizit angegeben. Der L = 0 Teil ist N = ∑ k A k † A k .
Es tut mir leid... Ich wollte schreiben L k aber ich habe einen Fehler gemacht.
Oder schlagen Sie vor, dass wir die Indizes der Leiteroperatoren mit griechischem oder etwas ähnlichem schreiben sollten, nicht mit lateinischen Alphabeten?
Es spielt keine Rolle. Der Punkt ist, wenn der Index eingeschaltet ist ich An L ich muss nicht wiederholt werden A ich † A k . L ich pendelt trivialerweise mit A ich † A ich so sieht es verwirrend aus wie geschrieben.
Ja genau. Vielen Dank für Ihren freundlichen Kommentar!

Antworten (1)

Sie versuchen, die Transformation symmetrischer spurloser Matrizen zu untersuchen M J l , im Spin 2 Irrep von Rotationen, unter Rotationen, orthogonalen Matrizen e θ L ich , Wo L J k ich = ϵ ich J k , reell antisymmetrisch. Sie möchten dies in die Jordan-Schwinger-Realisierung übersetzen , die Sie falsch konfigurieren und falsch anwenden, also verschieben wir das vorerst.

Also, wie siehst du das? R M R T = R M R − 1 ist symmetrisch spurlos wie M ? Hier:

M J l ' = R J k M k R R R l T = R J k R l R M k R       ⇝ M J J ' = R J k R J R M k R = δ k R M k R = 0 ,
Aus der Orthogonalität von R und der Spurlosigkeit von M .

Also ist M' symmetrisch spurlos, ebenfalls eine 5 .

Wenn Sie dies in Ihrer Hadamard-Identitätskommutator-Erweiterung in erster Reihenfolge wiederholt haben L ich , oder irgendeine antisymmetrische θ ich L ich , für diese Angelegenheit würden Sie feststellen, dass der Term linear in θ ebenfalls symmetrisch spurlos ist, und dann rekursiv ebenso für die Terme beliebiger Ordnung in θ !

Die Jordan-Konstruktion funktioniert garantiert, ist aber ein wilder Overkill. Davon müssten Sie sich selbst überzeugen Ö ( θ ) Begriff

[ A J † L J k ich A k , A R † M R S A S ]
ist eine spurlose symmetrische Matrix, die zwischen einem Triplett von eingebettet ist A † s und A s, ziemlich einfach: ∝ A J † ( ϵ ich J k M k l + ϵ ich l k M k J ) A l .

Beachten Sie, dass dies nicht ganz so ist S u ( 2 )       5 präsentiert in Wikipedia, zitiert, aber das ist angesichts Ihres Setups nicht Ihr Problem.

Hinweis als Antwort auf Kommentare

Offensichtlich hat die JS-Realisierungsbrücke nicht geholfen. Betrachten Sie einfach Ihren spurlosen symmetrischen Tensor

N ich J = 1 2 ( A ich † A J + A J † A ich ) − 1 3 δ ich J ∑ k A k † A k
und bestätige deine zweite Amtszeit in der Hadamard-Erweiterung, [ L ich , N ] ist spurlos symmetrisch,
ϵ ich J k N k l − N J k ϵ ich k l ,
was es ist, in den freien Indizes j und l , während i ein inerter Label-Index ist! Die Summation über wiederholte Indizes ist impliziert, und die Kontraktion eines symmetrischen und eines antisymmetrischen Tensors verschwindet.

Dann besteht mein Fehler darin, den Bediener nicht dazwischen zu schieben A † A ?
Ich habe nicht verstanden, warum ich das tun muss. Eigentlich ist mein Operator ganz in Form von Ladder-Operatoren geschrieben. Daher denke ich, dass wir dies nicht wiederholen müssen. Ich nehme jedoch an, dass mein eigentlicher Fehler darin besteht, seine Spur über diesen Fock-Raum zu ziehen. Die Spur von ( A ich † A J + A J † A ich ) ist nicht nur 2 ∑ ich A ich † A ich aber wir müssen rechnen ∑ N ⟨ N | ( A ich † A J + A J † A ich ) | N ⟩ .
Dann kann ich sagen, die spurlosen symmetrischen Tensortransformationen als 5 da die Anzahl der unabhängigen Komponenten 5 ist und ihre Spurlosigkeit und Symmetrie unter den Transformationen erhalten bleiben. Außerdem gibt es keinen festen Tensor mit solchen Eigenschaften. Diese Tatsache entspricht der Existenz von Quintolen in einem Hilbert-Raum. Ist das richtig gedacht?
Es sind weder Spuren im Fock-Raum noch Kommutierungen im nichtkommutativen Oszillatorraum beteiligt! Siehe meine direkte Demonstration in der Anmerkung hinzugefügt. Es geht um Matrizen in den drei Rotationsindizes.
Vielen Dank. Jetzt verstehe ich. Ich habe den Index von vergessen L hat nichts mit dem Trace zu tun ... Entschuldigung. Außerdem impliziert das obige Ergebnis den Kommutator von L und symmetrischer Tensor, nicht notwendigerweise spurlos, wird spurlos. Tatsächlich wissen wir es in der obigen Diskussion [ L , T R ( A † A ) ] = 0 daher wirkt sich der Minus-Spurterm nicht auf den Kommutator von aus N .
Transformation des spurlosen symmetrischen Tensors unter einer Lie-Gruppe
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