Quelle der Leiteroperatoren

Der Ursprung der Leiteroperatoren liegt in der Darstellungstheorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren .

Lie-Gruppen sind Sätze kontinuierlicher Transformationen mit einer Gruppenstruktur . Jede kontinuierliche Transformation einer gegebenen Gruppe wird als Gruppenelement identifiziert. In der Physik sind diese Elemente oder Transformationen wichtig, weil sie in Symmetrietransformationen abgebildet werden, wie z. B. die Rotationssymmetrie, aus der die Rotationsgruppe hervorgeht. Letzteres ist für die Drehimpulstheorie relevant.

Aufgrund des glatten Charakters dieser Mengen (tatsächlich sind Lie-Gruppen Mannigfaltigkeiten) kann man eine kleine Region in der Nähe der Identität der Gruppe untersuchen und sehen, wie die Mannigfaltigkeit überspannt wird. Dies geschieht durch die sogenannten Generatoren der Gruppe. Diese Generatoren erfüllen bestimmte Bedingungen, insbesondere Kommutierungsbeziehungen, und sie bilden eine Lie-Algebra . Es kommt vor, dass man viele Informationen über die Gruppe (wenn auch nicht alle Informationen) einfach durch Studium der Algebra (dh der lokalen Struktur der Gruppe) erhalten kann.

Viele der relevantesten Lie-Algebren in der Physik sind die sogenannten kompakten halbeinfachen Lie-Algebren. Für diese Algebren ist es möglich, ihre Generatoren in zwei Teilmengen zu zerlegen, die Cartan-Algebra (die maximale Menge linear unabhängiger Generatoren).$H_i$die untereinander pendeln) und die Stufen- oder Leiteroperatoren$E_\alpha$. Im Allgemeinen befriedigen sie

Die Generatoren sowie alle (Gruppen- oder Algebra-)Elemente sind im Prinzip abstrakt und nur durch ihre Aktionen (wie etwa eine gegebene Rotation) oder durch ihre Kommutierungsbeziehungen definiert. Um die Dinge expliziter zu machen oder (noch wichtiger) um diese Gruppen und Algebra mit physikalischen Theorien zu "passen", muss man eine bestimmte Darstellung annehmen.

Bei einer linearen Darstellung werden die Gruppen oder Algebraelemente nun in lineare Operatoren abgebildet, die auf lineare Räume wirken. Die Vektoren dieser linearen Räume werden normalerweise mit physikalischen Zuständen identifiziert, daher ist es wichtig, die linear unabhängigen Vektoren zu finden. Dies wird von der Darstellungstheorie für jede kompakte halbeinfache Lie-Algebra mit Hilfe der Leiteroperatoren ziemlich gleich erreicht. Indem wir sukzessive mit ihnen auf einen gegebenen Zustand einwirken, können wir alle Zustände der Theorie (oder alle Zustände der Darstellung) erhalten.

Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Elektron, das in Ruhe sitzt. Wir wissen, dass das Elektron zwei mögliche Werte für Messungen seines Spins in z-Richtung hat, +1/2 und -1/2. Der Hilbertraum zur Beschreibung des Elektrons hat dann zwei Basiszustände,$|+\rangle$Und$|-\rangle$das befriedigt$S_z |\pm \rangle = \pm \frac{\hbar}{2}|\pm\rangle$.

Nehmen wir nun an, wir wüssten, dass das Elektronensystem ein Photon ausstrahlt, und insbesondere strahlt es ein zirkular polarisiertes Photon in z-Richtung aus. Dieses Photon trägt dann eine Drehimpulseinheit in z-Richtung mit sich. Was ist der Endzustand des Elektronenspins? Es muss eine Einheit weniger sein als bisher.

Es stellt sich also die Frage, welcher Operator mit diesem Photonenprozess verbunden ist. Welcher Operator führt uns vom Anfangszustand des Elektrons zum Endzustand des Elektrons? Wir suchen$O$so dass$|e'\rangle = O|e\rangle$. Was auch immer der Betreiber ist, er muss die senken$S_z$Wert um eine Einheit. Das ist,$S_z|e'\rangle = (s_{z,i}-1)|e'\rangle$. Um das zu arrangieren, brauchen wir$S_z O|e\rangle = OS_z |e\rangle - O|e\rangle$, für jeden möglichen Anfangsbuchstaben$|e\rangle$. Dies impliziert das$[S_z,O]=-O$.

Können wir einen Operator konstruieren, der diese Eigenschaft hat? Die Antwort ist ja:$O = S_x - i S_y$macht den Job. In ähnlicher Weise können wir einen Operator finden, der den Spin um eine Einheit erhöht:$[S_z,S_+] = +S_+$. Photonen, die Drehimpuls in +z-Richtung wegtragen, müssen im Hamilton-Operator an koppeln$S_-$und Photonen, die einen Drehimpuls in der -z-Richtung tragen, koppeln an$S_+$.

Dies ist die physikalische Motivation für das Erhöhen und Senken von Operatoren. Es gibt auch sehr wichtige mathematische Motivationen. Es stellt sich heraus, dass viele nützliche Operatoralgebren vollständig als Diagonaloperatoren verstanden werden können (wie z$S_z$) und Hebe- und Senkoperatoren, die sich zwischen den verschiedenen Eigenzuständen bewegen.

Grundsätzlich entsteht es, wenn wir eine Kommutierungsbeziehung des Spinoperators und des Leiteroperators haben (wir sind zum Ergebnis gekommen)

Beachten Sie, dass