Lügenalgebra in einfachen Worten [geschlossen]

Es ist ein riesiges Thema, aber kurz:

Lügengruppen sind glatte Gruppen. Technisch gesehen sind Lie-Gruppen Mengen, die sowohl eine glatte Mannigfaltigkeit sind, wie zum Beispiel eine Kugel, als auch eine Gruppenstruktur haben (Multiplikationsoperator, Inverse und eine Identität). Die Gruppenmultiplikation und Inverse müssen glatte (differenzierbare) Funktionen auf der Mannigfaltigkeit sein.

Wie Sie bereits erwähnt haben, ist die Rotationsgruppe im dreidimensionalen Raum namens SO(3) ein Beispiel für eine Lie-Gruppe. Drehungen haben eine Gruppenstruktur, weil Sie Drehungen zusammensetzen oder umkehren und andere Drehungen erhalten können, und sie sind auch eine glatte Mannigfaltigkeit, weil Sie die Achse oder den Winkel glatt variieren und sich so kontinuierlich von einer Drehung zur anderen bewegen können.

Es gibt viele andere Beispiele für Lie-Gruppen. Viele Arten geometrischer Transformationen auf verschiedenen Räumen bilden Lie-Gruppen. Sie zeigen sich in der Physik in Transformationen der Raumzeit (am allgemeinsten die Poincaré-Gruppe ) und in sogenannten "inneren Symmetrien", die verschiedene Quantenfelder ineinander umwandeln (oft spezielle einheitliche Gruppen verschiedener Dimensionen). Ein weiteres Beispiel sind Diffeomorphismusgruppen , die in der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Stringtheorie auftauchen und auch Lie-Gruppen sind.

Lie -Algebren sind eng mit Lie-Gruppen verwandt. Eine Lie-Algebra besteht im Wesentlichen aus den „Infinitesimal-Elementen“ einer Lie-Gruppe, also den „der Identität infinitesimal nahen Elementen“. (Ich habe das in Anführungszeichen gesetzt, weil in der Standardanalyse infinitesimale Elemente nicht wirklich existieren – technisch gesehen ist eine Lie-Algebra auf dem Tangentialraum der Lie-Gruppe an der Identität definiert. Dennoch ist das Bild von infinitesimalen Elementen ein nützliches und intuitive Art, darüber nachzudenken.)

Zum Beispiel würden wir im Fall von Drehungen über Drehungen um beliebige Achsen um infinitesimale Winkel sprechen.

Wenn Sie zwei Gruppenelemente multiplizieren, die der Identität sehr nahe kommen, sieht die Gruppenmultiplikation wie eine Vektorsumme aus – im Grunde genauso$(1+\delta)(1+\epsilon) \approx 1 + (\delta + \epsilon)$Wenn$\delta$und$\epsilon$sind klein. Ähnlich,$(1+\epsilon)^{-1} \approx 1 - \epsilon$und so sieht die Gruppeninversion wie eine Vektornegation aus. Die Lie-Algebra erbt also ihre Operationen von denen der zugrunde liegenden Lie-Gruppe, aber sie selbst sieht nicht wie eine Gruppe aus, sondern wie ein Vektorraum.

Die Lie-Algebra hat zusätzlich zu den Standardvektorraumoperationen auch eine bilineare Operation, die als Lie-Klammer bezeichnet wird$[x, y]$(wo$x, y$sind zwei Vektoren in der Lie-Algebra und$[x, y]$erzeugt einen weiteren Vektor). Diese Operation misst, "wie nicht kommutativ" die Lie-Gruppe ist; entspricht grob dem Kommutator$[A, B] = AB - BA$der Lie-Gruppe.

Nun, das Lustige und Interessante an einer Lie-Algebra ist, dass sie, obwohl sie nur von einem infinitesimalen Stück einer Lie-Gruppe abgeleitet ist, fast alles enthält, was es über die Gruppe zu wissen gibt, aus der sie stammt! Sie können tatsächlich die gesamte Lie-Gruppe rekonstruieren, ausgehend von der Lie-Algebra, indem Sie die Exponentialkarte verwenden – eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Exponentialfunktion.

(Das liegt fast daran, dass es einige Fälle gibt, in denen verschiedene Lie-Gruppen dieselbe Lie-Algebra, aber unterschiedliche globale Strukturen haben – zum Beispiel SO(3) und SU(2).)

Und da Lie-Algebren Vektorräume sind und die Lie-Klammer eine bilineare Operation ist, brauchen Sie wirklich nur einen Satz von Basisvektoren für die Lie-Algebra zu haben und zu wissen, was die Lie-Klammer mit jedem Paar von Basisvektoren macht.

Ein solcher Satz von Basisvektoren wird als Satz von Generatoren der Gruppe bezeichnet. Wenn Sie die Lie-Klammer auf jedes Erzeugerpaar anwenden und die resultierenden Vektoren als Koordinaten in derselben Basis aufschreiben, werden die Zahlen, die Sie erhalten, als Strukturkonstanten bezeichnet .

Aus den Generatoren und den Strukturkonstanten kann man die Lie-Algebra und damit die gesamte Lie-Gruppe generieren (bis auf die oben erwähnten Mehrdeutigkeiten der globalen Struktur)! Dies macht Lie-Algebren zu einem sehr mächtigen Werkzeug zum Verständnis der Lie-Gruppen, die in der Physik auftauchen. Beispielsweise sind in der Teilchenphysik die Eichbosonen (Photon, W, Z, Gluonen) eng mit den Erzeugern interner Symmetriegruppen verwandt; Impuls und Drehimpuls beziehen sich auf die Generatoren der Poincaré-Gruppe und so weiter.

Es gäbe noch viel mehr darüber zu sagen – ich habe noch nicht einmal Repräsentationen erwähnt! – aber das ist wahrscheinlich genug für eine Antwort, also höre ich hier auf. :)

warum es eine so weit verbreitete Idee ist.

In der Elementarteilchenphysik und Kernphysik haben Gruppen und ihre Vertretungen eine ganz entscheidende Rolle bei der Entwicklung der Standardmodelle gespielt.

Die Elementarteilchen in der Tabelle im obigen Link haben viele Quantenzahlen. Diese Quantenzahlen haben zu beobachteten Symmetrien geführt, die durch Darstellungen der SU(3)-Gruppe beschrieben werden können. Diese Gruppe gehorcht der Lie-Algebra.

Die Vereinfachung in den theoretischen Modellen kommt, weil man die Hypothese aufstellen kann, dass alle Teilchen, die zu einer gegebenen Darstellung gehören, das gleiche Verhalten in einer Wechselwirkung haben werden, wenn man die erste Ordnung einnimmt, wobei man die Quantenzahlen ignoriert, die sie unterscheiden.

Ein einfaches Beispiel ist die SU(2)-Symmetrie des Isotopenspins beim Aufbau des Kerns. Das Proton und das Neutron gehören zu einer Darstellung, bei der das Proton 1/2 Isotopenspin und das Neutron -1/2 erhält, aber der Vektor (1/2, -1/2) sich für die starken Wechselwirkungen von in erster Ordnung gleich verhält der Kern (die von der elementaren starken Kraft überschwappen, aber das ist eine andere Geschichte).

Die Einordnung in Gruppenstrukturen vereinfacht Berechnungen und organisiert die Daten. Die Spinzustände von Elektronen und Nukleonen können auch durch die Symmetrie von SU(2) beschrieben werden, und wenn Spinwechselwirkungen nicht vernachlässigt werden können, kommt die Lie-Algebra ins Spiel. Dies ist ein Buch, das sich Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik widmet und online eingesehen werden kann.

Zusammenfassend führen Symmetrien zu Gruppenstrukturen und Vereinfachung von Berechnungen, und es ist selbstverständlich, dass im Festkörper auch das mächtige Werkzeug der Lie-Algebren verwendet wird.