Warum wird die Lie-Algebra der unitären Gruppe durch Matrizeneinheiten erzeugt?

Question

Warum wird die Lie-Algebra der unitären Gruppe durch Matrizeneinheiten erzeugt?

Physik
Lügen-Algebra
Gruppentheorie

kosmischer Witz

Ich habe dies speziell in Kapitel 2.10 des Buches Lie-Algebras und Anwendungen von Francesco Iachello gelesen, aber ich habe auch ähnliche Definitionen in mehreren Physikeraufsätzen gesehen: Die Lie-Algebra von $\mathrm{U}(d)$ wird von den Matrixeinheiten erzeugt $E_{ij}:=|j\rangle\langle i|$ , Wo $\{|i\rangle\}_{i=1}^N$ ist eine Orthonormalbasis auf $\mathbb{C}^d$ . Folglich können wir einen Satz von Generatoren für die Lie-Algebra von SU(d) erhalten, wenn wir diese Matrizen spurlos machen, dh durch Setzen $\overline{E}_{i,j}:=|j\rangle\langle i|-\frac{1}{d}\delta_{i,j}\mathrm{Id}$ . (Nur $d^2-1$ dieser Generatoren sind unabhängig.)

Soweit ich verstehe, ist die Lie-Algebra von $\mathrm{U}(d)$ sollten nur schief-hermitesche Matrizen enthalten, und diese Generatoren sind das offensichtlich nicht. Zum Beispiel, $\exp(E_{1d})$ ist nicht einheitlich, wenn es sein sollte, wenn $E_{1d}$ war wirklich ein Element der Lie-Algebra. Tatsächlich glaube ich, dass die Lie-Algebra von der Menge erzeugt wird $\{E_{i,j}\}_{i,j=1}^d$ ist eigentlich die der allgemeinen linearen Gruppe. Was verstehe ich hier falsch?

ZeroTheHero

E_{i j}

$E_{ij}$ ist nicht hermitisch (oder antihermitisch), also ist seine Exponentialfunktion nicht drin

U (n)

$U(n)$ . Sie müssen hermitische Kombinationen von potenzieren

E

$E$ um ein Element hineinzubekommen

U (n)

$U(n)$ . Der

E

$E$ Sie bilden eine Grundlage für die Algebra.

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Warum wird die Lie-Algebra der unitären Gruppe durch Matrizeneinheiten erzeugt?

$E_{ij}$ ist nicht hermitisch (oder antihermitisch), also ist seine Exponentialfunktion nicht drin $U(n)$ . Sie müssen hermitische Kombinationen von potenzieren $E$ um ein Element hineinzubekommen $U(n)$ . Der $E$ Sie bilden eine Grundlage für die Algebra.

ohneVal · Answer 1

Wie so oft liegt das Problem in Konventionen. Für Mathematiker sind die Generatoren der Lie-Algebra jede Basis, die die Algebra als Vektorraum aufspannen kann, für Physiker verlangen wir normalerweise, dass die Generatoren selbst hermitesch sind (denken Sie zB an die Pauli-Matrizen), wegen ihrer Interpretation als Observablen.

Lassen Sie uns auch den Unterschied zwischen Algebra und Gruppe deutlich machen. Die Lie-Algebra ist ein Vektorraum und eine Algebra dank der Lie-Klammer (dem Kommutator), sie wird mit kleinen Fraktur-Buchstaben bezeichnet. Also für diesen Fall: $\mathfrak{u}(N)$ ist die Lie-Algebra der Gruppe der unitären Dimensionsmatrizen $N\times N$ . Die Gruppe ist mit bezeichnet $U(N)$ und ist eine Gruppe unter gewöhnlicher Matrixmultiplikation, deren Elemente tatsächlich unitäre (also komplexe Einträge) Matrizen sind.

Die algebraische Bedingung für die Elemente der Algebra erhält man durch Differenzieren der Unitaritätsbedingung,

A A^{†} = 1,

$A A^\dagger = 1,$ was gibt

A + A^{†} = 0

$A + A^\dagger = 0$ was nichts anderes ist als die antihermitische Bedingung. Dies bedeutet, dass die Lie-Algebra der Vektorraum aller antihermiteschen Dimensionsmatrizen ist

N \times N

$N\times N$ . Also für eine Matrix

A \in u (N)

$A\in \mathfrak{u}(N)$ Die Potenzierung gibt Ihnen ein Element von

U (N)

$U(N)$ , und es kann gezeigt werden, dass alle Elemente in der Nähe der Identität von

U (N)

$U(N)$ kann durch Potenzierung eines Elements von beschrieben werden

u (N)

$\mathfrak{u}(N)$ . An dieser Stelle sind wir frei, die Matrix zu beschreiben

A

$A$ wie wir es wünschen. Als Physiker wollen wir eine Basis hermitescher Elemente auswählen (beachten Sie, dass if

A

$A$ ist dann antihermitesch

- i A

$-iA$ hermitesch ist, oder umgekehrt, wenn

σ

$\sigma$ ist dann hermitesch

i σ

$i\sigma$ ist antihermitesch), also lassen Sie uns eine Basis dafür haben

u (N)

$\mathfrak{u}(N)$ von hermitischen Elementen multipliziert mit

i

$i$ und voila

A = \sum_{N} C_{N} ich σ_{N} \in u (N)

$A = \sum_n c_n i \sigma_n \in \mathfrak{u}(N)$ und potenzieren

\exp (A) = \exp (\sum_{N} C_{N} ich σ_{N}) \in U (N)

$\exp(A) = \exp\left(\sum_n c_n i \sigma_n \right) \in U(N)$

Für den Fall von $SU(N)$ es ist der $\det = 1$ Bedingung, die, wenn sie differenziert wird, die Matrizen ihrer Algebra dazu zwingt, spurlos zu sein.

Bisher haben wir implizit von Lie-Algebren als reelle Vektorräume gesprochen, also die $c_n$ oben sind real und ändern nicht die hermiteschen Eigenschaften von $A$ . Allerdings kann man die Algebra auch komplexisieren (eine neue Algebra bauen), so dass man einen Vektorraum über den komplexen Zahlen erhält und somit anti-hermitesche und hermitesche Matrizen zulässt. Also haben wir

\begin{aligned} u (N) & = Antihermitische Matrizen \\ u_{C} (N) & = G l (N, C) = komplexe Matrizengröße N \times N \end{aligned}

$\begin{align} \mathfrak{u}(N) &= \text{anti-hermitian matrices}\\[7pt] \mathfrak{u}_\mathbb{C}(N) &= gl(N,\mathbb{C}) = \text{complex matrices size} N\times N \end{align}$

Sie sollten Kleinbuchstaben schreiben $gl(N, \mathbb{C})$ wenn Sie sich auf die Algebra aller komplexen Matrizen beziehen. Die Großschreibung ist der Gruppe der invertierbaren Matrizen vorbehalten.

Pedro · Answer 2

Sie haben sicherlich Recht, dass die Lie-Algebra von $U(d)$ besteht aus Skew-Hermitian $d \times d$ Matrizen. Physiker werden Lie-Algebren jedoch oft implizit komplexisieren, ohne sich jemals die Mühe zu machen, zu erwähnen, dass sie dies tun. Die Komplexbildung von $u(d)$ ist in der Tat $gl(d, \mathbb{C})$ . Das liegt daran, dass mit multipliziert wird $i$ wir erhalten eine Hermitesche Matrix, und jede beliebige Matrix kann als Summe einer Hermiteschen und einer schiefen Hermiteschen Matrix ausgedrückt werden. Weitere Diskussionen über Lie-Gruppen und Algebren in Mathematik vs. Physik finden Sie in Peter Woits Buch „Quantum Theory, Groups and Representations“.

Danke, das erklärt mein Missverständnis, wirft aber auch eine neue Frage auf: Wann ist es angebracht, die Komplexifizierung der Lie-Algebra anstelle der ursprünglichen zu berücksichtigen? Der Kontext, den ich über Matrixeinheiten als Generatoren gelesen habe, war die Konstruktion von Casimir-Operatoren. Wenn ich die Matrixeinheiten als Generatoren verwende, um Casimir-Operatoren zu konstruieren, dann bekomme ich tatsächlich Casimir-Operatoren von $gl(d,\mathbb{C})$ . Wie funktionieren die Casimir-Operatoren von $gl(d,\mathbb{C})$ beziehen sich auf die von $u(d)$ ? Ich glaube nicht, dass sie unbedingt in der (echten) universellen Hüllalgebra von leben $u(d)$ .
Ich bin mir nicht sicher; Erwägen Sie, dies als neue Frage (mit mehr Kontext) zu stellen, vorzugsweise bei math stackexchange oder mathoverflow.

oliver · Answer 3

Soweit ich mich erinnere, ist es nur eine Frage der Definition des Begriffs "Generator". Wenn $H$ ist hermitesch

H^{+} = H

$H^+=H$ Dann

G = i H

$G=iH$ ist schief hermitesch:

H^{+} = (ich G)^{+} = - ich G = - H

$H^+=(iG)^+=-iG=-H$ Immerhin unterscheidet sich der Parameter innerhalb des Exponentials nur um eine imaginäre Einheit, was sich zumindest notationsmäßig nicht viel ändert. Anstatt eine Untergruppe mit einem Parameter zu generieren, indem

\exp (λ G)

$\exp(\lambda G)$ Wo

G

$G$ schief-hermitesch ist, erzeugen Sie es durch

\exp (ich λ H)

$\exp(i\lambda H)$ Wo

H

$H$ ist hermitesch.

Ja, ich verstehe, dass, ob die Elemente der Lie-Algebra hermitesch oder schief hermitesch sind, davon abhängt, ob wir die Multiplikation mit i in der Exponentialkarte definieren. Physiker neigen dazu, i zu verwenden, Mathematiker nicht. Dies beantwortet die Fragen jedoch nicht wirklich, da die Matrixeinheiten nicht hermitesch sind, wenn sie nicht diagonal sind, und $\exp(iE_{ij})$ ist nicht einheitlich für $i\neq j$ .
@cosmicjoke: ja, dieses Detail habe ich übersehen. In der Tat scheinen Sie Recht zu haben, die im Lehrbuch erwähnte algebraische Basis erzeugt die allgemeine lineare Gruppe weiter $C^d$ . Natürlich seit $U(d)$ ist eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe, die allgemeine Basis ist auch eine Basis der Algebra von $U(d)$ (wenn richtig linear kombiniert ...). Allerdings ist es etwas seltsam, das so auszudrücken. Aber der Kontext fehlt in Ihrer Frage, also wird es vielleicht im Buch etwas besser erklärt.

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