Operatoren - wie sie motiviert werden müssen, müssen linear sein ? Ist dieser Kommentar ein Hinweis? [Duplikat]

Gibt es eine Möglichkeit, im Nachhinein zu motivieren, dass Observables darstellbar sein müssen durch

  1. lineare Operatoren
  2. auf einem Hilbertraum?

Insbesondere scheint die akzeptierte Antwort auf diese Frage einen Hinweis auf etwas zu enthalten . Dort schreibt der Autor das

"[...] und da diese Kommutatoren die Jacobi-Identität erfüllen, können sie durch lineare Operatoren auf einem Hilbert-Raum dargestellt werden."

  • Ist das wahr? Wenn eine Observable als Kommutator geschrieben werden kann (wie die drei Koordinaten des Drehimpulses), folgt daraus automatisch, dass sie einem linearen Operator entspricht? Wenn ja, wie / ist das ein Theorem mit einem Namen?

Danke für weitere Hinweise und für alle bisherigen Hinweise. Die Quantenmechanik ist mir immer noch sehr fremd, zusätzliche Motivation für eines der Postulate wäre edit: is nice.

Wenn Sie möchten, dass ich es weiter erkläre, sagen Sie es bitte.

Diese Frage: "Wie sind die Operatoren entstanden" scheint verwandt zu sein, aber die Antwort hilft nicht weiter, da sie von den Postulaten ausgeht. Meine Frage bezieht sich auf mögliche Motivationen, die man für eines der Postulate geben könnte.

Revisionsgeschichte Teil 1: Die Frage war vorher ziemlich allgemein, es wurde auch gefragt "woher kommen die Operatoren", was hier bereits eine sehr gute Antwort hat .

Der Vollständigkeit halber / Revisionsgeschichte Teil 2: Ein anderer Ansatz könnte über Wigners Theorem sein , dass jeder Symmetrieoperator auf einem Hilbert-Raum entweder linear unitär oder antilinear antiunitär ist (und dann könnte man vielleicht von Symmetrieoperatoren zu ihren Generatoren gehen und herausfinden, dass sie es sind entsprechen Observablen). Ursprünglich war auch die Frage, ob diese Argumentationslinie auch funktioniert. Aber wahrscheinlich wird dies in den historischen Quellen behandelt, die hier und in den Kommentaren angegeben sind.

Die Person, die den mathematischen Formalismus der QM entwickelt hat, war Von Neumann (Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik). Ich könnte mich irren, aber ich denke, er hat auch dem "Hilbert-Raum" seinen Namen gegeben. Vor ihm waren die Vorstellungen darüber ziemlich verworren
von Neumann formalisierte Diracs QM-Lehrbuch von 1930, frei verfügbar. Dirac arbeitete an endlichdimensionalen Analogien, die Heisenbergs Matrizenmechanik nahelegte. Die Frage dupliziert Wie sind quantenmechanische Operatoren entstanden? Frage zu hsm SE und Wie sind die Betreiber entstanden? auf dieser SE.
@Conifold Die zweite Ihrer Referenzen, die ich in meiner Frage erwähnt habe, erklärt, warum es keine Antwort gibt. Der erste (ich lese noch) hat gute Hinweise auf die historische Entwicklung. Was ich mir jedoch gewünscht hätte, sind die tatsächlichen Motivationen, die man sich vorstellen könnte (ich werde den Fragentitel ändern.) Bitte kommentieren Sie nicht, nachdem Sie nur den Titel gelesen haben.
Dann schaue ich mir das von Neumann-Buch auf jeden Fall noch einmal an. Der zweite Teil meiner Frage ist jedoch sehr spezifisch. Ich hoffe, jemand weiß, worauf sich die Person bezog. (Und da das Vorwort des von Neumann-Buches es als „historisch wichtig, aber veraltet, könnte sogar Fehler enthalten“ beschreibt, ist es wahrscheinlich, dass es die Antwort nicht enthält.)
Was meinen Sie mit "den tatsächlichen Beweggründen, die man sich vorstellen kann"? Diracs Buch ist online frei verfügbar, Sie können dort finden, was er dachte. Das Erweitern von Matrizen scheint jedoch ziemlich motiviert zu sein, daher müssen Sie viel genauer sagen, was Sie meinen. Was die zweite Frage betrifft, so haben die meisten SEs eine Frage-pro-Frage-Richtlinie, um Antworten mit angemessenem Fokus und angemessener Länge zu ermöglichen. Sie sollten es in eine separate Frage aufteilen.
@Conifold Du hast Recht, und den Teil meiner Frage, der dazu geführt hat, hast du bereits im anderen Beitrag beantwortet. Wirklich interessant, würde upvoten, wenn ich könnte. Das Beste ist wahrscheinlich, dass ich die Frage auf den zweiten Teil reduziere.
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Betrachtet man allgemeine probabilistische Theorien, zB in einem quantenlogischen Ansatz (für eine grundlegende Einführung siehe zB plato.stanford.edu/entries/qt-quantlog/), also die Formalisierung der allgemeinen logischen Struktur probabilistischer Aussagen über physikalische Systeme, findet man eine Reihe hypothetisch plausibler Möglichkeiten, darunter das Äquivalent zum Hilbert-Raum-Formalismus. Afaik (in Übereinstimmung mit dem obigen Link) ist keine elementare Erklärung bekannt, die diese bestimmte Struktur herausgreift. Es gibt andere Ansätze, die der „Quantum Theory From Five Reasonable Axioms“ von L. Hardy ähneln
@AdomasBaliuka Das ist also nur eine von mehreren Möglichkeiten, die Quantenmechanik „aufzuschreiben“? Vielleicht sind die anderen einfacher zu verstehen, wenn dieser für mich fehlschlägt :) Danke!
@KyleKanos Besser?
@dasWesen nein, du hast immer noch alle möglichen lächerlichen Bemerkungen über Änderungen am Beitrag. Befreien Sie sich von ihnen vollständig, indem Sie eine zusammenhängende Reihe von Aussagen machen, dann werde ich glücklich sein.
@dasWesen alles, was dir einfällt, ist nur eine Möglichkeit, es aufzuschreiben. Die Möglichkeiten, die ich angedeutet habe, beschreiben nicht die Statistik von Quantenexperimenten. Eine der möglichen logischen Strukturen ist die echte Quantenmechanik, basierend auf echten Hilbert-Räumen. Es hat komplizierte Verschränkungseigenschaften und wird durch Experimente als probabilistische Theorie experimenteller Ergebnisse vollständig ausgeschlossen. Es ist nur für Mathematiker interessant. Experimente können den Standard-Quantenformalismus herausgreifen und tun dies auch. Es ist nur so, dass wir dafür keine theoretische Begründung haben (was kein Problem sein muss)

Antworten (1)

Vom physikalischen Standpunkt aus ist es naheliegend anzunehmen, dass Observable mathematisch in geeigneter Weise manipuliert werden können. Es sollte möglich sein, sie zu summieren, zu multiplizieren und zu skalieren, um neue Observablen zu erhalten. Darüber hinaus ist es oft bequem, das Konzept der Observable auf komplexe Objekte auszudehnen, für die es auch möglich ist, eine "komplexe Konjugation" (abstrakt Involution genannt) durchzuführen.

Komplexe Zahlen oder komplexwertige Funktionen ermöglichen die obigen Manipulationen und könnten als Observablen genommen werden (und letztere sind in klassischen Theorien). Zur Beschreibung von Quantensystemen sollten solche Observablen jedoch auch nicht-kommutativ sein , da Effekte aufgrund von Nicht-Kommutativität experimentell beobachtet werden.

Mathematisch gesehen bilden Objekte mit den obigen Eigenschaften eine involutive Algebra , abelsch, wenn sie pendeln, nicht abelsch, wenn nicht. Es gibt einen Satz von Gelfand und Naimark, der auf einer Konstruktion von Gelfand, Naimark und Segal basiert und Folgendes besagt.

Jede *-Algebra ist isomorph zu einer Algebra linearer Operatoren, die auf einen Hilbert-Raum wirken

Es liegt daher nahe, Quantenobservable als lineare Operatoren darzustellen. Für klassische (abelsche) Observablen zeigt der Satz, dass die Operatoren in diesem Fall Multiplikationsoperatoren sind und dass abelsche Algebren auch als Algebra komplexwertiger Funktionen dargestellt werden könnten, die auf einem geeigneten topologischen Raum wirken. Letztere Darstellung wird üblicherweise für klassische Theorien gewählt.

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