Wie sind quantenmechanische Operatoren entstanden?

Es ist eine gute Frage, wie eine so seltsame Theorie erfunden werden konnte:-)

In ihrer heutigen Form wurde die Theorie von Dirac (Physiker) und von Neumann (Mathematiker) entwickelt. von Neumann hat im Wesentlichen die benötigte mathematische Operatorentheorie entwickelt. Beide haben Bücher über Quantenmechanik geschrieben, die die Motivation für Operatoren erklären. (Möglicherweise bevorzugen Sie das eine oder andere Buch, abhängig von Ihrem Hintergrund: ob Sie Physiker oder Mathematiker sind.) Aber sie gaben der Theorie ihre endgültige Form, und die Geschichte ist wirklich kompliziert. Um etwas Geschichte zu verstehen, empfehle ich van der Waerden, Quellen in der Geschichte der Quantenmechanik , eine Sammlung von ins Englische übersetzten Originalartikeln mit seinen Kommentaren. Um tiefer in die Geschichte einzutauchen, muss man erst einmal Deutsch lernen.

(Einige Leute, die von Neumann kannten, sagen, er sei ein Alien, ein Außerirdischer: Ein menschlicher Verstand könnte solche Dinge nicht erfinden.)

BEARBEITEN. Wie ich bereits sagte, ist die Entdeckung der Quantenmechanik eine sehr lange Geschichte, und dies ist das Ergebnis kollektiver Bemühungen. Sie geht zumindest von der Entdeckung der Summenformel für die Spektrallinien des Wasserstoffs durch Balmer aus, die den ganzen Vorgang auslöste. (Aber eigentlich kann die Geschichte auf Newton zurückgeführt werden.) Dann sollten Rydberg und Ritz erwähnt werden, und Planck und Einstein. Ein Meilenstein war Bohrs Theorie, die manchmal als „alte Quantenmechanik“ bezeichnet wird. Es beschreibt viele Phänomene richtig, aber es gibt noch keine Operatoren. Dann machten Heisenberg, Schrödinger, Born, Jordan und Dirac einen „Quantensprung“ und gaben ihm die mehr oder weniger moderne Form. Operatoren wurden von Dirac eingeführt, jedoch ohne strenge mathematische Begründung. Dann entwickelte von Neumann die strenge mathematische Theorie, die erforderlich war.„Eine Geschichte der Spektroskopie des 19. Jahrhunderts“ . Es umfasst die Entwicklung von Newton bis Bohr. Für die Zeit zwischen Bohr und Heisenberg ist mir keine Darstellung ähnlicher Qualität und Klarheit bekannt. Sommerfelds Buch Atombau und Spektrallinien kommt dem nahe, aber er war mehr daran interessiert, den aktuellen Stand der Theorie zu erklären, als die Geschichte.

Die Hinwendung zu Operatoren erfolgte in Heisenbergs Aufsatz von 1925 und war ein Kompromiss zwischen den Positionen von Bohr und Born. Bohr wollte minimale Modifikationen der klassischen Mechanik, wie seine Quantisierungsregeln für das Wasserstoffatom, während Born eine neue diskrete Mechanik wollte, die von Differenzgleichungen bestimmt wird. Heisenbergs Idee war es, Bewegungsgleichungen mehr oder weniger klassisch zu halten, aber Symbole darin neu zu interpretieren. Diese Symbole stellen Observablen (Position, Impuls, Energie usw.) dar, und in der Hamiltonschen Dynamik sind sie Funktionen von Positionen$x$und Momente$p$, die den Phasenraum bilden. Bei der Anwendung dieser Idee entdeckte Heisenberg beispielsweise, dass seine Symbole nicht pendeln würden$xp-px=i\hbar$mit der Planck-Konstante$\hbar$, also konnten sie keine Zahlen sein. Ein befreundeter Mathematiker wies darauf hin, dass Matrizen nicht pendeln und solche Beziehungen erfüllen könnten, und dies gab Heisenbergs Vorschlag seinen Namen, Matrizenmechanik. Abgesehen davon, dass Elektronen in einem Atom unendlich viele Energieniveaus haben, mussten diese "Matrizen" unendlich groß sein.

Etwa zur gleichen Zeit arbeitete Schrödinger aus einer anderen Perspektive, er wollte Quanteneffekte auf Wellendynamik reduzieren. Also stellte er Zustände von Quantensystemen durch Wellenfunktionen dar$\psi$auf den Phasenraum und suchte nach Bewegungsgleichungen. Seine Idee war, dass Quantenteilchen Wellenpakete sind, und er dachte ursprünglich daran$|\psi|^2$als Ladungsdichte, erst später identifizierte Born sie mit Wahrscheinlichkeitsdichte. Nachdem die Matrixmechanik herausgekommen war, erkannte Schrödinger, dass er Observablen in sein Bild einführen musste, aber sie konnten nicht bloße Symbole sein. Da Zustände Wellenfunktionen im Phasenraum und nicht seine Punkte sind, können Observablen keine Funktionen von ihnen sein, sie müssen auf Wellenfunktionen wirken wie Matrizen auf Vektoren. Nach einigen Experimenten im Jahr 1926 kam er auf die Darstellung der Position durch einen Multiplikationsoperator$\psi\mapsto x\psi$, und Impuls durch Differentiation$\psi\mapsto-i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial x}$. Der große Hinweis war, dass, wenn wir daran denken$x,p$wie diese Operatoren dann$(xp-px)\psi=i\hbar\,\psi$. Dann können wir aus diesen andere Observablen bilden. Klassische kinetische Energie ist$p^2/2m$, ersetzen$p$von seinem Betreiber bekommen wir$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}$aus der Schrödinger-Gleichung. Die Gesamtenergie eines klassischen Oszillators ist$p^2/2m+kx^2/2$, Ersetzen ergibt den Hamiltonoperator des Quantenoszillators$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{kx^2}2$. Usw.

1930 hat Dirac dieses Bild in seinem Lehrbuch Principles of Quantum Mechanics (1930) konzipiert , wo er unter anderem die Bra-Ket-Notation eingeführt hat. Dann gab von Neumann eine axiomatische Formulierung, die auf dem von ihm eingeführten Begriff des abstrakten Hilbert-Raums basierte, und stellte fest, dass Matrix- und Wellenmechanik auf zwei verschiedene Arten über dasselbe sprachen. In Schrödingers Bild wurden die Zustände zu Elementen eines Hilbert-Raums, nämlich des Raums$L^2$von quadratintegrierbaren (Wellen-)Funktionen auf dem Ortsraum. Die Observablen wurden darauf zu selbstadjungierten Operatoren. Bei Wahl einer orthonormalen Basis in diesem Raum werden die Zustände jedoch zu (unendlichen) Vektoren und die Operatoren zu (unendlichen) Matrizen. Das ist das Bild von Heisenberg.

Es gibt einen entsprechenden Thread auf Physics SE. Wie sind die Operatoren entstanden? Landsman gibt in Between Classical and Quantum einen schönen kurzen Überblick über historische Entwicklungen . Umfassendere Referenzen sind Kraghs Quantum Generations und Jammers Klassiker Conceptual Development of Quantum Mechanics .