Wie sind die Betreiber entstanden?

Quantenmechanische Postulate

Ist der mathematische Ausdruck für jeden einzelnen Operator also auch ein Postulat, das nicht aufgeführt ist, oder sind sie aus anderen Axiomen ableitbar?

Der mathematische Ausdruck für jeden einzelnen Operator ist eine Art Postulat, sollte aber nicht aufgeführt werden. Die Postulate definieren eine (mehr oder weniger) vollständige Theorie, indem ich daraus mathematische Fakten ableiten kann, ohne wirklich etwas über die Physik zu wissen.

Eines der Hauptprobleme ist, dass die Seite, auf die Sie verlinken ( in Anlehnung an McQuarrie ), meiner Meinung nach eine sehr schlechte Seite ist, um die Postulate der Quantenmechanik zu verstehen, wie sie heutzutage verstanden werden, und die Sie tiefer in die Theorie eindringen lässt. Ihre Postulate liegen zwischen den ersten Postulaten der Quantenmechanik, als die Menschen noch die Grundlagen und aktuellen Versionen der Postulate herausfanden, die eine bessere Trennung von Mathematik und Physik ermöglichen.

Lassen Sie mich sie also zunächst in einer moderneren Form darlegen und die Unterschiede erläutern (ich kopiere einiges davon aus Wikipedia ):

• Postulat 1: Jedem physikalischen System ist ein (topologisch) trennbarer komplexer Hilbertraum zugeordnet$H$mit Innenprodukt. Strahlen (eindimensionale Unterräume) in$H$sind Zuständen des Systems zugeordnet.

Der Unterschied zu Ihrem Postulat 1 besteht darin, dass wir uns nicht auf "Raum" beziehen. Die Wellenfunktion ist ein Objekt in einem abstrakten Hilbert-Raum, nicht unbedingt ein "Objekt".$\psi(x,t)$mit Ort und Zeit. Ihr erstes Postulat enthält bereits den Begriff "Raum" und muss daher einige Operatoren "fest" haben (siehe weiter unten). Lass uns weiter gehen:

• Postulat 2: Physikalische Observablen werden durch selbstadjungierte lineare Operatoren dargestellt$H$. Der Erwartungswert (im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie) der Observablen$A$für das durch den Einheitsvektor dargestellte System im Zustand$|\psi\rangle\in H$Ist$\langle\psi| A |\psi\rangle$.

Na, bitte. Dies ist Ihr Postulat 2 und 4 zusammen. Ihr Postulat 2 ist der erste Satz, die Born-Regel ist im Wesentlichen das zweite System.

• Postulat 3: Der Hilbert-Raum eines zusammengesetzten Systems ist das Hilbert-Raum-Tensorprodukt der den Komponentensystemen zugeordneten Zustandsräume.

Nun, Ihr System hat kein solches Postulat, wenn ich richtig sehe. Wenn Sie bereits im Weltraum operieren – und da jedes Teilchen im selben Raum lebt – brauchen Sie dieses Postulat nicht. Es ist jedoch einfacher, jedes Teilchen mit einer separaten Wellenfunktion in einem separaten Hilbert-Raum zu betrachten und sie durch Einführung der Tensorprodukte zu kombinieren (zu Wechselwirkungen siehe unten). Beachten Sie, dass dies in der Quantenfeldtheorie nicht mehr aufrechterhalten werden kann, da die Teilchenzahl nicht erhalten bleibt, aber dies ist hier unwichtig.

Auf diese Weise können Sie leicht Spin in die Theorie aufnehmen, was mit Ihrer Wellenfunktion nicht möglich ist$\psi(x,t)$. Es stellt sich heraus, dass Sie zur richtigen Beschreibung des Spins einen weiteren Parameter einführen müssen, von dem Ihre Wellenfunktion abhängt. Das ist nicht sehr schön und bedeutet, dass Ihre Postulate nicht richtig funktionieren werden. Das abstrakte Bild hat kein solches Problem.

• Postulat 4: Die Zeitentwicklung des Zustands ist durch eine (schwach) differenzierbare Funktion von den reellen Zahlen, die Zeitpunkte darstellen, zum Hilbert-Raum der Systemzustände gegeben. Diese Abbildung wird durch die Schrödinger-Gleichung charakterisiert.

Dies ist Ihr Postulat 5. Postulat 6 ist nicht vorhanden – es kann nicht aus diesem Satz von Postulaten abgeleitet werden, aber wenn wir die Quantenmechanik zur Quantenfeldtheorie erweitern (beachten Sie, dass axiomatische QFT problematisch ist), dann kann es sein, also tue ich es nicht. Ich möchte mich nicht wirklich darauf konzentrieren und es weglassen.

Operatoren in der Quantenmechanik

Beachten Sie, dass wir in dieser Beschreibung nicht einmal "Raum" definieren. Die obige Theorie beschreibt eine sehr abstrakte Theorie. Was entspricht dem Positionsoperator? Nun, wir wissen es nicht, weil wir nicht einmal wissen, was „Raum“ bedeutet. Damit ist aber eine vollständige Theorie beschrieben und ich kann daraus mathematisch sinnvolle Aussagen ableiten. Zum Beispiel kann ich sagen, dass aufgrund von Postulat 2 (im Prinzip) der Hamilton-Operator im System selbst ein selbstadjungierter Operator sein muss, weil die Zeitentwicklung erhalten bleiben muss$\langle \psi |\psi \rangle$, da dies ein Wahrscheinlichkeitsmaß darstellt. Aber was ist mit der Physik? Die Idee hinter diesen Postulaten ist, dass Sie nun für jedes Experiment angeben müssen:

• der Hilbertraum
• der Hamilton-Operator
• die möglichen Beobachtungsgrößen

Nur wenn Sie das tun, können Sie überhaupt mit der Berechnung beginnen. Dies erinnert etwas an die klassische Theorie, wo Sie normalerweise zuerst den Phasenraum definieren würden (vielleicht ist Ihr System auf eine eindimensionale Bewegung wie ein Pendel beschränkt. In diesem Fall hätte Ihr Phasenraum nur einen).$x$und ein$p$-Koordinate). Dann gehst du weiter und definierst den Lagrange- oder Hamilton-Operator entsprechend deinem Problem und dann kannst du alles berechnen. In der Quantenmechanik müssen Sie dasselbe tun.

Das bedeutet auch, dass a priori keinerlei Notwendigkeit besteht, das Quadrat des Impulsoperators beispielsweise durch den negativen Laplace darzustellen. Und - raten Sie mal - es stimmt auch nicht in jedem System (siehe zB diskrete Systeme, wo ein "Momenumt-Operator" noch Sinn machen kann). Machen wir ein Beispiel. Angenommen, Sie möchten ein Teilchen in einem dreidimensionalen Kasten betrachten. Es ist irgendwie intuitiv, den Hilbert-Raum zu nehmen$L^2([0,1]^3)$der Funktionen in der Box$[0,1]^3$. Die Position des Partikels sollte dann nur die "Position" sein$x$in der Box, dh der Positionsoperator, wie Sie ihn kennen. Es gibt jedoch ein mathematisches Theorem, das uns sagt, dass alle unendlich dimensionalen (trennbaren) Hilbert-Räume gleich sind, also könnte ich auch das Teilchen in einem Kasten beschreiben$[0,1]^3$durch eine Funktion im Hilbert Spae$L^2(\mathbb{R})$. Dies wäre natürlich höchst kontraintuitiv. Wie würde der Positionsoperator aussehen? Wahrscheinlich anders als die "intuitiv".

Aus diesem Grund werden die Operatoren nicht postuliert: Sie sind Teil dessen, was das eigentliche physikalische System ausmacht, das Sie betrachten möchten! Der spezifische mathematische Ausdruck eines Operators ist daher nicht unabhängig davon, wie Sie die Theorie beschreiben, und bilden daher keine Postulate.

Angesichts Ihrer Postulate hier wieder , ist dies jedoch nicht mehr wahr. Das erste Postulat identifiziert einen bestimmten Hilbert-Raum, der im Grunde (für die meisten Systeme) festlegt, wie die Orts- und Impulsoperatoren aussehen sollten. Dies könnte Ihre Verwirrung erklären und hilft Ihnen hoffentlich bei Ihrem Bestreben, die Quantenmechanik besser zu verstehen!

Wie kann man Operatoren finden und zuordnen?

Es beantwortet jedoch nicht wirklich die eigentliche zugrunde liegende Frage: Wie finden Sie diese Observables eigentlich? Und was ist mit der Geschichte?

Wie ich schon sagte, müssen Sie für jedes System den dreifachen Hilbert-Raum, Hamiltonian, Observables finden. All das muss irgendwie aus der Physik kommen. Und hier ist Ihr historisches Bild einigermaßen zutreffend (und dies bezieht sich auch auf Mark Mitchisons Kommentar):

Das Finden des Hilbert-Raums, des Hamilton-Operators und von Observablen erfolgt normalerweise / oft durch Analogie. Ihr Geschichtsbild vermittelt die richtige Vorstellung, indem es eine Geschichte darüber erzählt, wie Menschen aus der klassischen Mechanik durch Analogie zu den Observablen gelangen.

Ein Beispiel: Gegeben ein klassisches Teilchen in einem Kasten, kannst du in der klassischen Mechanik eine Hamilton-Funktion aufschreiben. Wenn Sie wissen, dass es so etwas wie "Impuls" und "Position" hat, möchten Sie für ein Quantenteilchen einen Raum nehmen, der dem klassischen Konfigurationsraum ziemlich ähnlich sieht$L^2([0,1]^3)$scheint eine sehr gute Wahl zu sein. Die Wahl des Positionsoperators, wie Sie ihn kennen, ist dann eine "natürliche" Wahl, wenn Sie wissen, was "Position" im klassischen Bild bedeutet. Den Impulsoperator wählst du dann so, dass die grundlegenden Vertauschungsrelationen erfüllt sind. Diese Kommutierungsbeziehungen werden von den Poisson-Klammern in der Hamiltonschen Mechanik "postuliert". Kurz gesagt, es stellte sich heraus, dass wir in der klassischen Mechanik haben$\{p,q\}=1$mit der Poisson-Klammer und in der Quantenmechanik haben wir$[P,Q]=i\hbar$mit dem Kommutator. Dies führt dazu, die Regel zu postulieren "nimm jede Poisson-Klammer zu einem Kommutator modulo$i\hbar$", was nicht genau definiert ist, aber ziemlich gut bei der Definition von Operatoren für viele Systeme funktioniert (dies wird als kanonische Quantisierung bezeichnet ). Dies ist "Operatoren durch Analogie identifizieren", aber natürlich kann es nur funktionieren, wenn auch der Hilbert-Raum vorhanden ist durch Analogie identifiziert.

Was tun mit Observablen wie Spin, die kein klassisches Gegenstück haben? Nun, in diesem Fall sind die abstrakten Postulate sehr mächtig: Sie erlauben es dir, einfach etwas zu erfinden. Die Leute wussten, dass der Spin in etwa wie ein Drehimpuls funktioniert, also macht es Sinn zu postulieren, dass es einen "Spin-Teil" im Hilbert-Raum gibt, der gerade ist$\mathbb{C}^2$und die Spin-Messungen sind gerade$\sigma_i$, die Pauli-Matrizen. Da die Experimente Ihre Wahl bestätigen, ist alles in Ordnung.

Ich glaube, dass es wichtig ist, sich an den grundlegenden Unterschied zwischen Quanten- und klassischer Beschreibung eines Systems zu erinnern. In der klassischen Mechanik beschreiben Sie es, indem Sie eine Art Bewegungsgleichung definieren, die Ihnen eine Position aller Bestandteile des Systems gibt, die durch die Funktion der Zeit beschrieben wird, aber für jedes dieser Teilchen haben Sie eine Funktion. Im Quantenfall gibt es so etwas wie eine wohldefinierte Position nicht, und das Hauptobjekt ist eine Wellenfunktion oder Zustandsfunktion, die beschreibt, wie wahrscheinlich es ist, dass eine bestimmte Konfiguration stattfindet. Wenn Sie mit irgendeiner Art von Messung auf dieses System einwirken, ändern Sie es, sodass Sie einen neuen Zustand erhalten. Wenn Sie einen Zustand als Vektor betrachten, können Sie sicher sagen, dass Sie auf einen Vektor einwirken und dann einen neuen erzeugen. Es ist dasselbe, was ein Operator tut. Hauptoperator in einer Schro-Gleichung ist, Ich denke, Hamiltonoperator oder Energieoperator. Es wird so genannt, weil seine Eigenwerte offensichtlich Energiewerte sind. Danach können Sie mit Impuls oder etwas anderem fortfahren. Ich muss darauf hinweisen, dass Messungen definieren, was ein Operator mit der Basis macht, und durch diese Beschreibung ist der Operator definiert, d. h. seine Wirkung auf jede Art von Vektor ist definiert. Ich hoffe, es ist klar, was ich sagen wollte. Wenn jemand mehr zu sagen hat, wäre ich auch dankbar. :-) Ich hoffe, es ist klar, was ich sagen wollte. Wenn jemand mehr zu sagen hat, wäre ich auch dankbar. :-) Ich hoffe, es ist klar, was ich sagen wollte. Wenn jemand mehr zu sagen hat, wäre ich auch dankbar. :-)