Wie kann man anhand der Zustandsdichte beweisen, dass die Summe gegen das Integral konvergiert?

Question

Wie kann man anhand der Zustandsdichte beweisen, dass die Summe gegen das Integral konvergiert?

Minethlos

Im Wesentlichen möchte ich beweisen

\begin{matrix} (1) & \sum_{k} F (k) \to \int F (k) ρ D E \end{matrix}

$\sum_k f(k) \to \int f(k) \rho dE \tag{1}$

Wo

\begin{matrix} (2) & ρ = \frac{D k}{D E} \end{matrix}

$\rho = \frac{dk}{dE} \tag{2}$

ist die Zustandsdichte und $k \to \infty$ .

Das Modell ist, dass es ein System mit gibt $k$ Energieniveaus mit Energien $E_k$ . Wir betrachten einen Grenzwert mit unendlich vielen Energieniveaus ( $k \to \infty$ ). Davon können wir in dieser Grenze ausgehen $f(k)$ wird zu einer stetigen Funktion.

Ich weiß zum Beispiel, dass Riemann-Summen gegen das Integral konvergieren

\begin{matrix} (3) & \sum_{ich} F (X_{ich}) (X_{ich + 1} - X_{ich}) \to \int F (X) D X \end{matrix}

$\sum_i f(x_i) (x_{i+1} - x_i) \to \int f(x) dx \tag{3}$

für ausreichend gute Funktion $f(x)$ und richtig gewählte Partition (d.h. $\max(x_{i+1} - x_i) \to 0$ ). Aber ich kann meine Gleichung nicht reduzieren $(1)$ nach Riemann-Integraldefinition.

Kyle Arean-Raines

Hmm, also scheint dir ein Faktor von zu fehlen

Δ k

$\Delta k$ auf der linken Seite von (1)?

Konifold

\sum_{k} f (k) Δ k \to \int f (k) d k = \int f (k (E)) \frac{d k}{d E} d E

$\sum_k f(k)\Delta k \to \int f(k)dk=\int f(k(E))\frac{dk}{dE}dE$ nach Riemann Summen und Variablenwechsel. Übersehe ich etwas?

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Wie kann man anhand der Zustandsdichte beweisen, dass die Summe gegen das Integral konvergiert?

Hmm, also scheint dir ein Faktor von zu fehlen $\Delta k$ auf der linken Seite von (1)?
$\sum_k f(k)\Delta k \to \int f(k)dk=\int f(k(E))\frac{dk}{dE}dE$ nach Riemann Summen und Variablenwechsel. Übersehe ich etwas?

hft · Answer 1

Im Wesentlichen möchte ich beweisen
$\begin{matrix} (1) & \sum_{k} F (k) \to \int F (k) ρ D E \end{matrix}$ $\sum_k f(k) \to \int f(k) \rho dE \tag{1}$ Wo $\begin{matrix} (2) & ρ = \frac{D k}{D E} \end{matrix}$ $\rho = \frac{dk}{dE} \tag{2}$ ist die Zustandsdichte und $k \to \infty$ .

Wie in den Kommentaren erwähnt, müssen Sie eine Maßnahme am LRS einführen, damit die Dimensionen funktionieren. Anders ausgedrückt: Ihre $f(k)$ auf der linken Seite kann nicht mit Ihrer identisch sein $f(k)$ auf der RHS.

Was Sie wahrscheinlich sagen wollen, ist, dass Sie eine Funktion haben $f_k$ definiert für eine diskrete Menge von $k$ (z.B, $k_1$ , $k_2$ , usw.) und einige andere Funktionen $f(k)$ definiert für eine kontinuierliche Variable, die die gleichen Werte wie hat $\frac{f_k}{\delta k}$ wenn sie an den diskreten Punkten ausgewertet werden und wo $\delta k = (k_{i+1}-k_i)$ .

Dann

\sum_{k} F_{k} = \sum_{k} F (k) δ k,

$\sum_k f_k = \sum_k f(k)\delta k\;,$ und jetzt sagen wir einfach, dass f(k) sich langsam genug ändert, dass wir das so tun können

δ k

$\delta k$ klein ist und sagen, dass die Summe ungefähr gleich dem Integral ist.

\sum_{ich} F_{k_{ich}} = \sum_{ich} F (k_{ich}) δ k \approx \int F (k) D k,

$\sum_i f_{k_i} = \sum_i f(k_i)\delta k \approx \int f(k) dk \;,$

Dh wir gehen davon aus

\int_{w ich T H ich N δ k Ö F k_{ich}} D k F (k) \approx F (k_{ich}) δ k

$\int_{\tt{within }\,\, \delta k\,\, \tt{of }\,\, k_i} dk f(k) \approx f(k_i)\delta k$

Ändern Sie dann die Variablen in $E$ anstatt $k$ :

\sum_{ich} F_{k_{ich}} = \sum_{ich} F (k_{ich}) δ k \approx \int F (k) D k = \int F (k (E)) \frac{D k}{D E} D E,

$\sum_i f_{k_i} = \sum_i f(k_i)\delta k \approx \int f(k) dk = \int f(k(E))\frac{dk}{dE}dE\;,$

Sie und die anderen Kommentatoren hatten Recht, dass etwas fehlte. In meinem Fall könnte ich eigentlich überlegen $\rho = 1/\Delta E$ Weil $f(k)$ war so das $\rho f(k)$ hat eine wohldefinierte Grenze als $\Delta E \to 0$ .

Wie kann man anhand der Zustandsdichte beweisen, dass die Summe gegen das Integral konvergiert?

Minethlos

Kyle Arean-Raines

Konifold

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hft

Minethlos

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