Greens Funktion im Frequenzbereich

Ich lerne einige Grundlagen der Greenschen Funktionen, die in der Physik angewendet werden, aus dem Artikel https://arxiv.org/abs/1604.02499

Ich bin auf Gleichung Nr. (23) gestoßen, von der gesagt wird, dass sie aus Gleichung (22) abgeleitet wird, indem man davon eine Fourier-Transformation nimmt. Nach mehreren Versuchen bin ich nicht in der Lage, das genaue Ergebnis in Gleichung (23) zu finden. Es mag ziemlich einfach sein, zu diesem Zeitpunkt zu fragen, aber als Anfänger in diesem Thema kann ich keine Antwort finden.

Was vermisse ich ? Was ist der Trick, um Gleichung (23) aus (22) zu erhalten?

$$\begin{equation} G(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}^\prime, t^\prime) = \sum_n \varphi_n(\mathbf{r})\varphi_n^*(\mathbf{r}^\prime)e^{-\frac{i}{\hbar}E_n(t-t^\prime)}\tag{22} \end{equation}$$

$$\begin{equation} G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime; E \right) = \sum_n i \frac{\varphi_n(\mathbf{r})\varphi_n^*(\mathbf{r}^\prime)}{E-E_n}\tag{23} \end{equation}$$

Wenn ich folgendes verwende:

$$\begin{align} G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime; E \right) = \int_0^\infty G(t) e^{{i\over\hbar}Et} dt \end{align}$$ es führt zu, $$\begin{align} G\left(\mathbf{r}, \mathbf{r}^\prime; E \right) = {i\hbar} \sum_n \frac{\varphi_n(\mathbf{r})\varphi_n^*(\mathbf{r}^\prime)}{E-E_n} \end{align}$$ Vorausgesetzt, es gibt eine Transformation (man könnte sie als Laplace-Fourier-Transformation bezeichnen) der folgenden Art, bekomme ich die Antwort. $$\begin{align} G(E) = {1\over \hbar} \int_0^\infty G(t) e^{{i\over\hbar}Et} dt \end{align}$$

Somit bleiben meine Fragen:

(a) Existiert eine solche Transformation?

(b) Sollten wir die Grenze nicht berücksichtigen$(-\infty, \infty )$anstatt$(0, \infty )$?